題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
柯西不等式的 Engel 形式：對正數 bᵢ，(a₁²/b₁+a₂²/b₂)(b₁+b₂) ≥ (a₁+a₂)²，取等當且僅當 a₁/b₁ = a₂/b₂。構造的關鍵是讓 b₁+b₂ 正好等於題給約束。
本講兩組參數均為自編：第一組 x+y=6 求 1/x+2/y；第二組向量 (1,2,2) 與 (2,1,−1)。全部結果現算。
二、逐題精講
題1
題1 設 x>0、y>0 且 x+y=6，求 1/x+2/y 的最小值，並求取等時的 x、y。
解析
取 b₁=x、b₂=y，a₁=1、a₂=√2，則 a₁²/b₁+a₂²/b₂ = 1/x+2/y，且 b₁+b₂ = x+y = 6。
由柯西：(1/x+2/y)(6) ≥ (1+√2)² = 5.828427，故 1/x+2/y ≥ 5.828427/6 = 0.971405。
取等條件 1/x = √2/y ⇒ y=√2·x，與 x+y=6 聯立：x(1+√2)=6 ⇒ x=6/(1+√2)=2.485281，y=√2x=3.514719。
回代：1/2.485281 + 2/3.514719 = 0.971405 = 0.971405 ✓；x+y = 6.000000 = 6 ✓。兩式閉合，說明取等點確實落在約束上。
答案 最小值 (1+√2)²/6 = 0.971405，取等 x=2.485281、y=3.514719
採分點 構造 aᵢ、bᵢ 3 分；不等式與最小值 3 分；取等條件聯立 2 分；兩處回代 2 分
易錯點 把 a₂ 取成 2 而非 √2；取等條件寫成 x=y；忽略 x,y>0 的前提
題2
題2 設向量 a=(1,2,2)、b=(2,1,−1)。(1) 驗證 (Σaᵢ²)(Σbᵢ²) ≥ (a·b)²；(2) 求在 |b|=√6 固定時 a·b 的最大值及取等比例係數 k。
解析
(1) Σaᵢ² = 9，Σbᵢ² = 6，乘積 54；a·b = 1×2+2×1+2×(−1) = 2，平方 4。54 ≥ 4 成立，且 9 與 6 不成比例（1/2 ≠ 2/1 ≠ 2/(−1)），故嚴格不等，不能取等。
(2) 最大值 = √(9×6) = √54 = 7.348469。取等時 b = k·a，k = √(6/9) = √0.666667 = 0.816497；此時 a·b = (1+4+4)k = 9×0.816497 = 7.348469 = 7.348469 ✓。
回代：|b|² = 6，k²·9 = 0.666667×9 = 6.000000 = 6 ✓；7.348469² = 54.0000 = 54 ✓。三式閉合。
答案 54 ≥ 4 嚴格成立；最大值 7.348469，k=0.816497
採分點 兩平方和與點積 2 分；嚴格不等判定 2 分；最大值 2 分；k 與回代 2 分；三式閉合 2 分
易錯點 把 a·b 算成 6 或 2；誤判本組向量可取等；把 k 寫成 √({A448}/{B448})（倒置）
三、規律小結與對照表
| 形式 | 不等式 | 本題值 | 取等 |
|---|---|---|---|
| Engel | (Σaᵢ²/bᵢ)(Σbᵢ)≥(Σaᵢ)² | 0.971405 | aᵢ/bᵢ 成比例 |
| 約束 | x+y | 6 | x+y 回代 |
| 三維 | (Σaᵢ²)(Σbᵢ²)≥(a·b)² | 54 ≥ 4 | 本題不取等 |
| 上界 | √(Σaᵢ²·Σbᵢ²) | 7.348469 | k={k448:.6f} |
小結：第一問 0.971405 由 (1+√2)²/6 給出並在 x=2.485281、y=3.514719 取等；第二問 54 ≥ 4 嚴格成立，上界 7.348469 由 k=0.816497 回代閉合。全部係數自編。
四、自測清單
- 能寫出柯西不等式的 Engel 形式
- 能正確構造 aᵢ 與 bᵢ
- 能用取等條件與約束聯立求 x、y
- 能驗證三維形式並判斷是否取等
- 能求點積上界與比例係數 k
- 能對兩問做閉合回代
五、數值回代明細
按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：條件最值 = 0.971405；取等x = 2.485281；取等y = 3.514719；兩平方和乘積 = 54；點積上界 = 7.348469；比例係數k = 0.816497。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理「柯西不等式與權方和：條件最值與取等比例核驗」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00442《裴蜀定理與不定方程：整數解、通解與最大不可表數》 與 example-00454《參數方程求導與曲率：dy/dx、d²y/dx² 與曲率半徑》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
