聯招數學·絕對值三角不等式：取等條件與多點距離和最小

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

絕對值三角不等式給的是「範圍 + 取等條件」兩件事：||a|−|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|，等號成立要 ab 的符號配合，不能只寫範圍不寫條件。

本講兩組自編參數：|a|=5、|b|=3；以及三點 -2、1、4。全部按題給參數現算。

二、逐題精講

題1

題1　(1) 設 |a|=5、|b|=3，求 |a+b| 與 |a−b| 的取值範圍並寫取等條件；(2) 求 f(x)=|x−1|+|x−4| 的最小值與取等區間。

解析

(1) 由三角不等式：||a|−|b|| = 2 ≤ |a±b| ≤ 8 = |a|+|b|。故 |a+b|、|a−b| 都在 [2, 8] 內。上界 |a+b|=8 當 ab≥0（同號），下界 |a−b|=2 也當 ab≥0；ab≤0（異號）時 |a+b|=2、|a−b|=8。回代：8−2 = 6 = 2·min(|a|,|b|) = 2×3 ✓。

(2) |x−1|+|x−4| ≥ |(x−1)−(x−4)| = |3| = 3；取等當 (x−1)(x−4)≤0，即 1≤x≤4。取 x=2.5，f = |1.5|+|-1.5| = 1.5+1.5 = 3.0 = 3 ✓。

兩問獨立：2、8 來自兩數模，3 來自兩定點距離，互不代用。

答案　|a±b|∈[2,8]；f(x) 最小 3，取等 1≤x≤4

採分點　上下界 3 分；取等條件 2 分；距離式 2 分；取等區間 2 分；兩處回代 1 分

易錯點　只寫範圍不寫 ab 符號條件；把 |a−b| 下界寫成 {low460} 卻說 ab≤0；取等區間寫成 x≥4

題2

題2　求 g(x)=|x−-2|+|x−1|+|x−4| 的最小值及取最小點；若誤取端點 x=4，結果偏大百分之幾？

解析

三點距離和在中位數 x=1 處取最小：g(1) = |3|+|0|+|-3| = 3+0+3 = 6。

逐點核驗：x=-2 時 g=9；x=1 時 g=6；x=4 時 g=9。三者最小為 6 ✓。

誤取端點 x=4 得 9，相對偏大 = (9−6)/6 = 50.0%。回代：6+3 = 9 ✓；中位數 1 與兩端 -2、4 的距離和恰為 6，即最小值的另一表達式。

答案　最小值 6，在 x=1 取得；誤取 x=4 得 9，偏大 50.0%

採分點　中位數判定 3 分；6 2 分；三點核驗 2 分；50.0% 2 分；距離和回代 1 分

易錯點　把最小值點取成平均數；只在端點比較而漏中位數；偏大百分比分母誤用 {f3_at4:.0f}

三、規律小結與對照表

小結：2～8 的範圍由兩數模定，3 由兩點距離定，三點推廣的最小 6 落在中位數 x=1；誤取端點會偏大 50.0%。參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能寫出絕對值三角不等式並說明取等條件
• 能用 |p−q| 求兩點距離和的最小值
• 能給出取等區間並回代
• 能說明三點距離和在中位數取最小
• 能逐點核驗三個候選值
• 能計算誤取端點的偏大百分比

五、數值回代明細

按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：兩數模下界 = 2；兩數模上界 = 8；兩點距離最小值 = 3；中點回代 = 3；三點距離和最小 = 6；端點x=4值 = 9；端點偏大百分比 = 50。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理「絕對值三角不等式：取等條件與多點距離和最小」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00454《參數方程求導與曲率：dy/dx、d²y/dx² 與曲率半徑》 與 example-00466《指數與對數不等式：底數分檔、定義域優先》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。