題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
三次多項式有三個待定係數，給三個函數值就能定死。關鍵不是硬解方程組，而是先用 f(0)=c 直接拿到常數項，再把 f(1)=0、f(−2)=0 轉成兩個一次方程。
設 f(x)=x³+ax²+bx+c，示意條件：f(0)=-6、f(1)=0、f(−2)=0。由 f(0) 得 c=-6；由 f(1)=0 得 1+a+b+c=0，即 a+b=5；由 f(−2)=0 得 −8+4a−2b+c=0，即 2a−b=7。以上係數為自編示意設定，非真題數據。
二、逐題精講
題1
題1 求 a、b、c，把 f(x) 分解因式，並求 f(2) 與係數和 f(1)，用兩種方式驗證分解正確。
解析
由 f(0)=c=-6 得 c=-6。聯立 a+b=5 與 2a−b=7，相加得 3a=12，故 a=4、b=1。
f(x)=x³+4x²+1x-6 = (x−1)(x+2)(x+3)。驗一：展開 (x−1)(x+2)=x²+x−2，再乘 (x+3) 得 x³+4x²+x−6，與原式逐項一致。驗二：三根之和 1+(−2)+(−3)=−4=−a，三根兩兩積之和 1×(−2)+1×(−3)+(−2)×(−3)=−2−3+6=1=b，三根積 1×(−2)×(−3)=6=−c，韋達三式全閉合。
於是第三根為 −3，f(−3)=0；f(2)=8+16+2−6=20；係數和 f(1)=1+4+1−6=0，與題給 f(1)=0 一致。
答案 a=4，b=1，c=-6；f(x)=(x−1)(x+2)(x+3)；第三根 −3；f(2)=20；f(1)=0
採分點 c 由 f(0) 直得 1 分；方程組與 a、b 各 1 分；因式分解 2 分；展開或韋達互驗 2 分；f(2) 與 f(1) 各 1 分
易錯點 把 f(1)=0 誤寫成「係數和為 0 所以 a+b+c=−1」卻漏掉首項 1；另需避免分解後忘記驗第三根
題2
題2 設 g(x)=f(x)+k。求 g(x) 在 x=1 處的切線方程；若該切線過原點，求 k，並回代驗證切點在曲線上。
解析
f′(x)=3x²+8x+1，故 f′(1)=3+4×2+1=12。g(x)=f(x)+k 與 f(x) 只差常數，故 g′(1)=f′(1)=12，且 g(1)=f(1)+k=0+k=k。
切線：y − k = 12(x − 1)，即 y = 12x + (k − 12)。過原點要求 k − 12 = 0，故 k = 12。
回代：k=12 時切線為 y=12x；切點 (1, g(1))=(1, 12) 代入切線右端 = 12×1 = 12，等於 g(1)，切點確在曲線上。另驗 g(x)=x³+4x²+x−6+12=x³+4x²+x+6，g(1)=1+4+1+6=12 ✓。
答案 切線 y = 12x + (k−12)；過原點時 k = 12，切線 y = 12x
採分點 f′(1) 計算 2 分；切線方程 2 分；過原點條件與 k 2 分；切點回代 2 分
易錯點 把 g(1) 寫成 f(1)=0 而漏掉 +k，會誤得 k=0；另需避免用 f(x) 的切點 (1,0) 去代 g(x)
三、規律小結與對照表
| 條件 | 轉化 | 所得 | 易錯 |
|---|---|---|---|
| f(0)=−6 | 直接取常數 | c=−6 | 另列方程反而繞 |
| f(1)=0 | (x−1)|f(x) | a+b=5 | 漏掉首項 1 |
| f(−2)=0 | (x+2)|f(x) | 2a−b=7 | 符號代錯 |
| 切線過原點 | 常數項為 0 | k=f′(1)=12 | 漏 g(1)=k |
小結：三個函數值定三個係數，根與係數用韋達互驗，平移後切線只改常數項。a=4、b=1、c=-6、第三根 −3、k=12 五處閉合。以上係數為自編示意設定。
四、自測清單
- 能用 f(0) 直接取常數項
- 能把 f(a)=0 轉成一次方程
- 能分解三次式並驗第三根
- 能用韋達三式互驗係數
- 能求 g(x) 在 x=1 處的切線
- 能由過原點條件得 k=12 並回代切點
