題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
定積分不總能靠原函數算，數值近似是通用辦法。三種常見取點方式精度差很多：矩形法只用左端點，梯形法用兩端平均，辛普森法用拋物線擬合。同一個 h 下，誤差階依次是 O(h)、O(h²)、O(h⁴)。
示意被積函數 f(x)=x²，區間 [0,1]，精確值 ∫₀¹x²dx = 1/3 = 0.333333；取 n=4，步長 h=0.25。以下節點與取位均為自編示意設定，非真題數據。
二、逐題精講
題1
題1 分別用左端點矩形法、梯形法、辛普森法（n=4）求近似值，並各自與精確值比對誤差。
解析
節點：0, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00，對應 f = 0, 0.0625, 0.25, 0.5625, 1。
左端點矩形法：R = h·Σf(xᵢ) = 0.25×0.8750 = 0.218750，誤差 -0.114583（偏小 34.4%）。
梯形法：T = h·[(f₀+f₄)/2 + f₁+f₂+f₃] = 0.25×(0.5000+0.8750) = 0.343750，誤差 +0.010417（偏大 3.1%）。
辛普森法：S = (h/3)[f₀+f₄+4(f₁+f₃)+2f₂] = (0.25/3)×(4.0000) = 0.333333，誤差 +0.000000。
辛普森對被積函數是不超過三次的多項式時精確，本例 f=x² 為二次，故 S 與 1/3 在取位內完全一致，不是巧合；矩形法因一律取左端點而系統偏小。
答案 矩形 0.218750（誤差 -0.114583）；梯形 0.343750（誤差 +0.010417）；辛普森 0.333333（誤差 +0.000000）
採分點 三法公式各 1 分；三法數值各 1 分；三處誤差各 1 分；辛普森精確性說明 1 分
易錯點 梯形法漏掉兩端的 1/2 權；另需避免把矩形法的系統偏小說成「取位誤差」
題2
題2 把梯形法加密到 n=8（h=0.125），求新的近似值與誤差；誤差約為 n=4 時的幾分之一？說明對應的誤差階。
解析
n=8 時 T₈ = 0.335938，誤差 = +0.002604；n=4 時誤差 = +0.010417，比值 = 0.010417 / 0.002604 = 4.0，即約為 1/4。
梯形法截斷誤差為 O(h²)：h 由 0.25 減半為 0.125，h² 變為 1/4，故誤差約縮為 1/4，與回代比值 4.0 一致。若改用辛普森法，誤差階為 O(h⁴)，h 減半時誤差約縮為 1/16；本例因被積函數是二次多項式，辛普森誤差本就為 0。
回代：精確值 0.333333，T₈ − 精確值 = +0.002604，T₄ − 精確值 = +0.010417，兩者之比 4.0 ✓。
答案 T₈ = 0.335938，誤差 +0.002604，約為 n=4 時的 1/4（比值 4.0），對應 O(h²)
採分點 T₈ 數值 2 分；新誤差 1 分；比值 2 分；誤差階解釋 2 分；與精確值回代 1 分
易錯點 把「n 加倍」誤當成「誤差減半」；另需避免把辛普森的 O(h⁴) 套到梯形法上
三、規律小結與對照表
| 方法 | 公式要點 | n=4 結果 | 誤差階 |
|---|---|---|---|
| 左端點矩形 | h·Σ 左端點 | 0.218750 | O(h)，系統偏小 |
| 梯形 | h·[(端點和)/2+中間和] | 0.343750 | O(h²) |
| 辛普森 | (h/3)[端+4奇+2偶] | 0.333333 | O(h⁴)，二次精確 |
| 精確值 | ∫₀¹x²dx=1/3 | 0.333333 | — |
小結：同一 h 下三法精度差在誤差階。矩形 0.218750、梯形 0.343750、辛普森 0.333333、精確 0.333333 四處對照，n 加倍後梯形誤差縮為約 1/4（比值 4.0）閉合。以上取位為自編示意設定。
四、自測清單
- 能寫出三種數值積分公式
- 能計算 n=4 時三法近似值與誤差
- 能說明矩形法為何系統偏小
- 能說明辛普森法對二次多項式精確
- 能通過 n 加倍驗梯形法誤差約縮為 1/4
- 能回代比值 4.0 與 O(h²) 的對應
