題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
迭代 x_{n+1}=f(x_n) 會不會停在某一點，先看不動點方程 x*=f(x*)，再看 f 在該點附近「壓縮還是放大」：|f′(x*)|<1 收斂，>1 發散。
示意函數 f(x)=0.5x+1 與 g(x)=2x+1，均從 x₀=0 起迭代 4 次。以下函數與初值均為自編示意設定，非真題數據。
二、逐題精講
題1
題1 求 f(x)=0.5x+1 的不動點，列出前 4 次迭代值與誤差，並說明誤差按什麼比縮小。
解析
解 x=0.5x+1 得 x*=2。迭代：x₀=0 → x₁=1 → x₂=1.5 → x₃=1.75 → x₄=1.875。
誤差 eₙ=|xₙ−2|：2、1、0.5、0.25、0.125，相鄰比值恆為 2.0，即 eₙ₊₁ = 0.5·eₙ。
因為 f′(x)=0.5 恆小於 1，f 是壓縮映射，誤差按 0.5 等比縮小，迭代必收斂到 2；閉式 xₙ = 2 − 2/2ⁿ 亦可直接驗：n=4 時 2 − 2/16 = 1.875 = x₄ ✓。
答案 不動點 x*=2；迭代 1, 1.5, 1.75, 1.875；誤差按 0.5 等比縮小
採分點 不動點方程 2 分；迭代值 2 分；誤差比 2 分；壓縮映射說明 1 分；閉式回代 1 分
易錯點 把 x₂=1.5 寫成 1.25；另需避免用 x₀ 當誤差起點卻漏掉 e₀
題2
題2 求 g(x)=2x+1 的不動點，列出前 4 次迭代與誤差，並說明為何不收斂；與 f 型對照。
解析
解 x=2x+1 得 x*=-1。迭代：x₀=0 → x₁=1 → x₂=3 → x₃=7 → x₄=15。
誤差 eₙ=|xₙ−(−1)|：1、2、4、8、16，按 2.0 等比放大，迭代發散。
對照：f 型 |f′|=0.5<1，誤差 0.125；g 型 |g′|=2.0>1，誤差 16。兩型不動點都存在，但只有壓縮映射能把迭代拉過去；不動點存在 ≠ 迭代收斂。回代：g 型 e₄/e₀ = 16 = 2.0⁴ ✓，f 型 e₄/e₀ = 0.0625 = 0.5⁴ ✓。
答案 g 型不動點 x*=-1，迭代 1, 3, 7, 15，誤差按 2.0 放大、不收斂
採分點 不動點 1 分；迭代與誤差 2 分；發散原因 2 分；兩型對照 2 分；四次冪回代 1 分
易錯點 把「有不動點」當成「迭代必收斂」；另需避免把 g 型誤差比寫成 1/2
三、規律小結與對照表
| 函數 | x* | |f′(x*)| | 迭代走向 |
|---|---|---|---|
| f(x)=0.5x+1 | 2 | 0.5 | 誤差等比縮小，收斂 |
| g(x)=2x+1 | −1 | 2 | 誤差等比放大，發散 |
| 判據 | x*=f(x*) | <1 才收斂 | 不動點存在≠收斂 |
小結：不動點由方程定，收斂性由導數定。f 型 e₄=0.125、g 型 e₄=16，分別等於 0.5⁴ 與 2.0⁴ 乘 e₀，兩路閉合。以上函數與初值均為自編示意設定。
四、自測清單
- 能由 x*=f(x*) 求不動點
- 能列出迭代序列與誤差
- 能用 |f′(x*)| 判斷收斂或發散
- 能說明「不動點存在」不等於「迭代收斂」
- 能回代 f 型誤差比 0.5 與 g 型 2.0
- 能用四次冪驗證誤差比
