題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
過 x 軸上一點作拋物線的動弦，最省事的設法是 x = ty + x₀：它把「斜率不存在」也包進去了，不必分兩支討論。聯立後用韋達，兩個乘積常常就是定值。
示意曲線 y² = 2px 取 p=2（即 y²=4x），動弦過定點 (4, 0)；另取對照定點 (1, 0)。以下參數與係數均為自編示意設定，非真題數據。
二、逐題精講
題1
題1 設動直線 x = ty + 4 與 y²=4x 交於 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)。求 y₁y₂、x₁x₂，並證 OA⊥OB。
解析
代入：y² = 4(ty + 4) ⇒ y² − 4t·y − 16 = 0，即 y² − 4t·y − 16 = 0。
由韋達：y₁ + y₂ = 4t，y₁y₂ = -16；又 xᵢ = yᵢ²/4，故 x₁x₂ = (y₁y₂)²/16 = 256/16 = 16。
向量點積 OA·OB = x₁x₂ + y₁y₂ = 16 + (-16) = 0，故 OA⊥OB，為與 t 無關的定值。
回代：取 t=1 時方程 y²−4y−16=0，兩根 y = 2±2√5，積 = 4−20 = -16 ✓；對應 x 積 = (-16)²/16 = 16 ✓，點積 0 ✓。
答案 y₁y₂ = -16，x₁x₂ = 16，OA·OB = 0，故 OA⊥OB 為定值
採分點 設線理由 1 分；聯立與韋達 2 分；兩乘積 2 分；點積與垂直 2 分；取 t 回代 1 分
易錯點 用 y=k(x−4) 設線漏掉豎直線；另需避免把 x₁x₂ 寫成 y₁y₂/4
題2
題2 若把定點改為 (1, 0)，定值還存在嗎？求新的 y₁y₂、x₁x₂ 與 OA·OB，並給出「垂直為定值」的一般條件。
解析
一般式：聯立 y² − 2p·t·y − 2p·x₀ = 0，故 y₁y₂ = −2p x₀，x₁x₂ = (y₁y₂)²/(2p)² = x₀²，點積 OA·OB = x₀² − 2p x₀ = x₀(x₀ − 2p)。
當 x₀ = 4 = 2p 時點積為 0，垂直成立；改取 x₀ = 1 時，y₁y₂ = -4，x₁x₂ = 1，點積 = -3 ≠ 0，OA 與 OB 不再垂直，定值消失。
回代：x₀=1 時方程 y²−4t·y−4=0，兩根積 -4 ✓，x 積 = (-4)²/16 = 1 ✓，點積 1+(-4) = -3 ✓。可見「垂直」不是過點弦的普遍性質，而是 x₀=2p 這一特定定點的產物。
答案 x₀=1 時 y₁y₂=-4、x₁x₂=1、OA·OB=-3≠0，垂直不再成立；一般條件為 x₀=2p
採分點 一般式 2 分；新定點三值 2 分；定值消失結論 2 分；一般條件 2 分；回代 1 分
易錯點 把「過 (4,0) 弦垂直」推廣到任意定點；另需避免一般式裡把 2p 寫成 p
三、規律小結與對照表
| 定點 x₀ | y₁y₂ | x₁x₂ | OA·OB |
|---|---|---|---|
| 4（=2p） | -16 | 16 | 0，垂直 |
| 1 | -4 | 1 | -3，不垂直 |
| 一般 | −2p x₀ | x₀² | x₀(x₀−2p) |
小結：設 x=ty+x₀ 用韋達一次拿到兩個乘積，點積 x₀(x₀−2p) 定生死。x₀=4 得 0、x₀=1 得 -3，兩路閉合；垂直只在 x₀=2p 成立。以上參數均為自編示意設定。
四、自測清單
- 能說明設 x=ty+x₀ 的理由
- 能聯立並用韋達求 y₁y₂ 與 x₁x₂
- 能由點積判定 OA⊥OB
- 能寫出一般定點下的點積式
- 能說明改定點後定值消失
- 能回代 x₀=1 時 OA·OB=-3
