題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
三次單位根 ω 有兩個「隨身恆等式」：ω³=1 與 1+ω+ω²=0。前者管降次，後者管消項；再記住 ω̄=ω²、|ω|=1，絕大多數化簡題都能收口。
取 ω=e^(2πi/3)=−1/2+(√3/2)i，ω²=e^(4πi/3)=−1/2−(√3/2)i。以下指數與項數均為自編示意設定，非真題數據。
二、逐題精講
題1
題1 求 (1+ω)(1+ω²) 與 (1−ω)(1−ω²)，並求 |1−ω|；全部用 ω³=1 與 1+ω+ω²=0 推導。
解析
(1+ω)(1+ω²) = 1 + (ω+ω²) + ω³ = 1 + (−1) + 1 = 1（複數現算 1）。注意不是 2：ω³=1 只補回一個 1，而 ω+ω²=−1 先抵消掉另一個 1。
(1−ω)(1−ω²) = 1 − (ω+ω²) + ω³ = 1 − (−1) + 1 = 3（復算 3）。
|1−ω|：1−ω = 3/2 − (√3/2)i，模 = √[(3/2)²+(√3/2)²] = √(9/4+3/4) = √3 = 1.7321，與複數現算 1.7321 閉合；也可用 |1−ω|²=(1−ω)(1−ω̄)=(1−ω)(1−ω²)=3 直接得 √3。
回代：ω³ = 1，1+ω+ω² = -0，兩式均按定義成立，故上面三處化簡可互驗。
答案 (1+ω)(1+ω²) = 1；(1−ω)(1−ω²) = 3；|1−ω| = √3 = 1.7321
採分點 兩式展開各 2 分；模長推導 2 分；用單位根恆等式而非硬算 1 分；回代 1 分
易錯點 把 (1−ω)(1−ω²) 展開時漏掉 +ω³；另需避免把 ω̄ 寫成 ω 而非 ω²
題2
題2 求 S = 1+ω+ω²+…+ω^2025（共 2026 項），說明週期性歸併的依據。
解析
因 ω³=1，冪按 3 項一週期：ω^(3k)=1、ω^(3k+1)=ω、ω^(3k+2)=ω²；每完整一週期之和 1+ω+ω²=0。
共 2026 項 = 3×675 + 1，故 S = 675×0 + 餘下 1 項（k=0 起，只剩 1） = 1。
回代：用複數現算 Σω^k（k=0..2025）得實部 1、虛部 2.25e-13，與週期歸併一致；若誤把項數當成 2025 項，2025 = 3×675 + 0，和則為 0.0000，不再是 1，可見「項數」與「最高指數」差 1 是本題唯一易錯處。
答案 S = 1（2026 項 = 3×675 + 1，每整週期和為 0，餘 1 項）
採分點 週期性依據 2 分；項數分解 2 分；結果 2 分；複數回代 1 分；「項數與最高指數差 1」說明 1 分
易錯點 把 ω^2025 當成 2025 項而非 2026 項；另需避免餘項從 ω 起算
三、規律小結與對照表
| 恆等式 | 來源 | 用途 | 易錯 |
|---|---|---|---|
| ω³=1 | ω=e^(2πi/3) | 降次 | 漏用 |
| 1+ω+ω²=0 | ω≠1 且 ω³−1=(ω−1)(1+ω+ω²) | 消整週期 | 誤當 1 |
| ω̄=ω² | 共軛與模 | 化簡 |1−ω| | 寫成 ω |
| 週期歸併 | 3 項一週期 | 長和式 | 項數少算 1 |
小結：ω³=1 降次、1+ω+ω²=0 消項、ω̄=ω² 收模。兩積式 1 與 3、|1−ω|=1.7321、長和式 S=1 四處閉合。以上項數為自編示意設定。
四、自測清單
- 能寫出 ω³=1 與 1+ω+ω²=0
- 能用兩式化簡 (1±ω)(1±ω²)
- 能說明 ω̄=ω² 與 |ω|=1
- 能用週期性歸併長和式
- 能區分「項數」與「最高指數」
- 能回代長和式 S=1 與兩積式
