聯招數學·三角換元與代數最值：√(1−x²) 型及取等條件

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

見到 √(1−x²) 先別急著平方：平方會把 x 的範圍和根式的非負性一起弄丟。穩妥做法是令 x=sinθ，θ∈[−π/2,π/2]，此時 cosθ≥0，√(1−x²)=cosθ，原式直接變成 a sinθ+b cosθ。

輔助角公式：a sinθ+b cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ)，其中 tanφ=b/a（a>0 時按象限定 φ）。最大值為 √(a²+b²)，取等點由 tanθ=a/b 給出。以下係數均為自編示意設定，非真題數據。

二、逐題精講

題1

題1　設 y=x+√(1−x²)，x∈[−1,1]。求 y 的最大值與取等時的 x，並求最小值；用 x=−1、0、1 三點回代。

解析

令 x=sinθ，θ∈[−π/2,π/2]，則 √(1−x²)=cosθ，y=sinθ+cosθ=√2·sin(θ+π/4) ≤ √2 = 1.4142。

取等：θ+π/4=π/2 ⇒ θ=π/4 ⇒ x=sin(π/4)=√2/2 = 0.7071，此時代回 y = 0.7071+0.7071 = 1.4142 ✓。

最小值在端點：x=−1 時 y=−1+0=-1；x=1 時 y=1+0=1。三點回代：x=−1 → -1，x=0 → 1，x=1 → 1，均不超過 1.4142，與「最大值在內部取等點」一致。

答案　最大值 √2 = 1.4142，取等 x=√2/2 = 0.7071；最小值 -1（x=−1）

採分點　換元與 θ 範圍 2 分；輔助角公式 2 分；最大值 1 分；取等點 2 分；端點與三點回代 2 分

易錯點　忘記限定 θ∈[−π/2,π/2] 導致 cosθ 取負；另需避免把 x=1 處的 1 當成最大值

題2

題2　設 y=x+2√(1−x²)。求最大值與取等點；若誤沿用上一型取等點 x=√2/2 代入，結果偏低百分之幾？

解析

同樣換元：y=sinθ+2cosθ=√(1²+2²)·sin(θ+φ)=√5·sin(θ+φ)，故最大值 √5 = 2.2361。

取等條件 tanθ=a/b=1/2 ⇒ sinθ=1/√5 = 0.4472，cosθ=2/√5 = 0.8944；代回 y = 0.4472 + 2×0.8944 = 2.2361 = √5 ✓。

誤用 x=√2/2：此時 √(1−x²)=√2/2，y錯 = √2/2 + 2×√2/2 = 3√2/2 = 2.1213，偏低 (2.2361−2.1213)/2.2361 = 5.1%。可見兩型的取等點不同，不能套用。

答案　最大值 √5 = 2.2361，取等 x=1/√5 = 0.4472；誤用 x=√2/2 得 2.1213，偏低 5.1%

採分點　輔助角係數 2 分；最大值 1 分；取等條件與 x 2 分；回代閉合 2 分；偏低比例 2 分

易錯點　把取等條件寫成 tanθ=b/a 而倒置；另需避免把上一型取等點直接套到係數不同的題

三、規律小結與對照表

小結：換元保證根式非負，輔助角給出上界，取等點須按係數重算。√2=1.4142、√5=2.2361、誤套偏低 5.1% 三處閉合。以上係數為自編示意設定。

四、自測清單

• 能說明換元時 θ 的取值範圍及原因
• 能用輔助角公式求 a sinθ+b cosθ 最大值
• 能由 tanθ=a/b 求取等點
• 能回代端點與取等點
• 能說明兩型取等點不同
• 能計算誤用取等點的偏低比例 5.1%