聯招物理·弦振動駐波法測線密度：f=n/(2L)·√(T/μ)

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

弦兩端固定時形成駐波，弦長必須是半波長的整數倍：L = nλ/2。配合波速 v = √(T/μ)，就得到第 n 次諧波頻率 fₙ = n/(2L)·√(T/μ)。測出基頻，就能反解線密度。

示意弦：弦長 L=1.000 m，懸掛質量 M=0.500 kg（取 g=9.80 m/s²），張力 T=Mg=4.90 N，實測基頻 f₁=35.0 Hz。器件參數與讀數均為自編示意，非真實器材指標。

二、逐題精講

題1

題1　求弦的線密度 μ（kg/m 與 g/m 兩種單位），並求 n=3 時的諧波頻率；寫出由 f₁ 反解 μ 的鏈條並回代。

解析

由 f₁ = (1/2L)√(T/μ) 得 √(T/μ) = 2Lf₁ = 2×1.000×35.0 = 70.0 m/s，故 μ = T/(2Lf₁)² = 4.90/70.0² = 4.90/4900.0 = 0.001000 kg/m = 1.00 g/m。

n=3 時 f₃ = 3f₁ = 105.0 Hz（諧波與 n 成正比，與 T、μ 無關地成整數倍）。

回代：把 μ=0.001000 kg/m 代回 v=√(4.90/0.001000) = 70.0 m/s，f₁ = v/(2L) = 35.0 Hz，與題給 35.0 Hz 閉合；f₃ = 3×35.0 = 105.0 Hz ✓。

答案　μ = 0.001000 kg/m = 1.00 g/m；f₃ = 105.0 Hz

採分點　駐波條件 1 分；反解式 2 分；μ 數值與單位 2 分；f₃ 1 分；兩路回代 2 分

易錯點　把 2Lf₁ 平方時漏掉 L；另需避免把 f₃ 寫成 f₁/3

題2

題2　(1) 張力加倍而 L、μ 不變，基頻變為多少？(2) 若誤把弦長加倍當作張力加倍處理，基頻會變成多少、偏低百分之幾？(3) 實測基頻只有 34.3 Hz（比理論低 2.0%），按實測反算的 μ 是多少、偏高多少？應如何處置？

解析

(1) T′=9.80 N 時 f₁′ = (1/2L)√(T′/μ) = 49.497 Hz = 35.0×√2 ≈ 49.497 Hz ✓。

(2) L 加倍到 2.000 m 而張力不變時 f₁ = 17.5 Hz（f∝1/L），相對 35.0 Hz 偏低 50.0%；與 (1) 的 49.497 Hz 方向相反，不能混為一談。

(3) 實測 f=34.3 Hz ⇒ μ測 = T/(2Lf)² = 4.90/68.6² = 0.001041 kg/m，相對 0.001000 kg/m 偏高 4.1%。偏低 2.0% 的頻率經平方反比放大為約 4.1% 的 μ 偏差，屬測量系統誤差；應在正文註明「本組基頻讀數偏低 2.0%，不用於定值」，不能改 f 或改 T 湊回 1.00 g/m。

答案　(1) 49.497 Hz；(2) 17.5 Hz，偏低 50.0%；(3) μ測 = 0.001041 kg/m，偏高 4.1%，按讀數偏低登記、不改數

採分點　(1) 2 分；(2) 方向與偏低比例 2 分；(3) 反算 2 分；平方放大說明 1 分；登記不抹平 2 分

易錯點　把 f∝√T 與 f∝1/L 混用；另需避免把頻率偏低 2.0% 直接說成 μ 偏高 2.0%

三、規律小結與對照表

小結：fₙ=n/(2L)√(T/μ) 一條式子管住基頻、諧波、張力與長度。μ=1.00 g/m、f₃=105.0 Hz、T 加倍 49.497 Hz、L 加倍 17.5 Hz 四處閉合；實測組偏高 4.1% 單獨登記。以上器材參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能由駐波條件導出 fₙ=n/(2L)√(T/μ)
• 能由基頻反解線密度並換算單位
• 能求 n=3 諧波頻率
• 能區分張力加倍與長度加倍對頻率的影響
• 能說明頻率誤差經平方放大到 μ
• 能說明實測組偏高 4.1% 應登記而不改數