聯招數學·指數與對數不等式：底數分檔、定義域優先

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

解對數不等式的固定順序：先寫真數 > 0（定義域），再按底數分檔決定不等號方向，最後把解與定義域取交集。順序反了會漏掉定義域或把不等號寫反。

本講三組題給參數均為自編：log₂(x−1)<3、log₁⸝₂(x+2)≥−1、2^(x²−3x)≤8；換底值 log₂3=1.58496 按題給數現算。

二、逐題精講

題1

題1　解下列不等式，並寫出定義域與取交集後的解集。

① log₂(x−1) < 3　② log₁⸝₂(x+2) ≥ −1

解析

① 定義域 x−1>0 ⇒ x>1；底數 2>1 單調增，保序得 x−1 < 2³ = 8 ⇒ x < 9；交集 1 < x < 9。端點回代：x→1⁺ 時真數→0⁺，log₂→−∞ < 3 ✓；x=9 時 log₂8 = 3，不滿足嚴格小於，故 9 取開 ✓。

② 定義域 x+2>0 ⇒ x>−2；底數 1/2∈(0,1) 單調減，不等號反向：x+2 ≤ (1/2)^(−1) = 2 ⇒ x ≤ 0；交集 −2 < x ≤ 0。端點回代：x=0 時 log₁⸝₂2 = -1 ≥ −1 ✓（取等）；x→−2⁺ 時真數→0⁺，log₁⸝₂→+∞ ≥ −1 ✓。

換底核驗：log₂3 = ln3/ln2 = 1.098612/0.693147 = 1.58496；log₁⸝₂2 = ln2/ln(1/2) = 0.693147/-0.693147 = -1 ✓。三個解集條件互不代用。

答案　① 1 < x < 9；② −2 < x ≤ 0

採分點　兩個定義域各 2 分；底數分檔各 2 分；兩解集交集 2 分；端點與換底回代 2 分

易錯點　漏寫真數>0；底數 0<a<1 時忘記反向；把 9 寫成閉端點

題2

題2　解 2^(x²−3x) ≤ 8，求臨界根並代入端點核驗。

解析

8 = 2³，底數 2>1 單調增，故 x²−3x ≤ 3，即 x²−3x−3 ≤ 0。

方程 x²−3x−3=0 的根：x = (3 ± √(9+12))/2 = (3 ± √21)/2，√21 = 4.582576，故 x₁ = -0.791288、x₂ = 3.791288；拋物線開口向上，解集為 [-0.791288, 3.791288]。

端點回代：x=0 在區間內，2^(0−0) = 1 ≤ 8 ✓（True）；x=4 在區間外，2^(16−12) = 2⁴ = 16 > 8 ✓（False 為 False）；x=x₁ 與 x=x₂ 處取等，閉端點成立。

核驗：兩根之和 = 3.000000 = 3，兩根之積 = -3.000000 = −3，與 x²−3x−3 的韋達關係閉合；4.582576 = √21 ✓。

答案　解集 [-0.791288, 3.791288]，兩根 (3±√21)/2

採分點　化為二次不等式 3 分；兩根 3 分；端點代入 2 分；韋達回代 2 分

易錯點　把 8 寫成 2²；忽略底數>1 直接比較指數時漏寫定義域（指數式定義域為全體實數）；把區間寫成開區間

三、規律小結與對照表

小結：定義域優先、底數分檔決定方向，①得 (1,9)、②得 (−2,0]、③得 [-0.791288, 3.791288]；換底 1.58496、端點 x=0 與 x=4、韋達和 3 積 −3 四處回代閉合。參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能先寫真數大於零的定義域
• 能按底數 a>1 與 0<a<1 決定不等號方向
• 能把指數不等式化為二次不等式
• 能用求根公式給出臨界根
• 能用端點代入核驗解集
• 能用韋達關係與換底公式回代

五、數值回代明細

按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：換底log₂3 = 1.584963；判別式根號 = 4.582576；二次方程小根 = -0.791288；二次方程大根 = 3.791288；兩根之和 = 3；兩根之積 = -3。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理「指數與對數不等式：底數分檔、定義域優先」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00460《絕對值三角不等式：取等條件與多點距離和最小》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。