題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
參數方程求導最容易漏的是二階：d²y/dx² 不是 (d²y/dt²)/(d²x/dt²)，而是先求 dy/dx 關於 t 的導數，再除以 dx/dt。
自編示意曲線：x=t²，y=t³−3t。本講在 t=2 與 t=1 兩處計算，全部按題給參數現算。
二、逐題精講
題1
題1 在 t=2 處求：(1) dy/dx；(2) d²y/dx²；(3) 曲率 κ 與曲率半徑 R。
解析
(1) dx/dt = 2t = 4，dy/dt = 3t²−3 = 9；dy/dx = 9/4 = 2.25。
(2) dy/dx = (3t²−3)/(2t) = (3/2)(t − 1/t)，對 t 求導得 (3/2)(1+1/t²)；t=2 時為 1.875000。再除以 dx/dt=4：d²y/dx² = 1.875000/4 = 0.468750。
(3) 1+y′² = 1+2.25² = 6.0625；(1+y′²)^1.5 = 14.927175；κ = 0.468750/14.927175 = 0.031402；R = 1/κ = 31.8446。
回代：κ·R = 0.031402×31.8446 = 1.000000 ≈ 1 ✓；dx/dt=4≠0，故本處可作 y(x) 處理。
答案 dy/dx=2.25，d²y/dx²=0.468750，κ=0.031402，R=31.8446
採分點 一階導 2 分；二階導兩層除法 3 分；κ 2 分；R 1 分；κR 回代 2 分
易錯點 二階導漏除 dx/dt；把 κ 公式寫成 |y″|/(1+y′²)^{1/2}；忽略 dx/dt≠0 前提
題2
題2 在 t=1 處求 dy/dx、d²y/dx²、κ 與 R，並說明該點切線的方向。
解析
dx/dt = 2，dy/dt = 3×1²−3 = 0；dy/dx = 0/2 = 0.00，切線水平。
d²y/dx² = (3/2)(1+1/t²)/(2t) 在 t=1 為 3.0/2 = 1.5；κ = 1.5/(1+0)^1.5 = 1.5；R = 1/1.5 = 0.6667。
回代：y′=0 時 (1+y′²)^1.5=1，故 κ=|y″| 直接成立；κ·R = 1.5×0.6667 = 1.0000 ≈ 1 ✓。與 t=2 處的 κ=0.031402 相比，本處彎曲更厲害（R 由 31.8446 降到 0.6667）。
口徑說明：κ、R 依賴參數 t 的取點，兩處數值不同不矛盾；曲線參數式與兩點 t 值均為自編示意。
答案 dy/dx=0.00（水平切線），d²y/dx²=1.5，κ=1.5，R=0.6667
採分點 水平切線判定 2 分；二階導 2 分；κ 與 R 3 分；κR 與兩點比較 3 分
易錯點 把 dy/dt=0 誤判成「導數不存在」；在 y′=0 時仍把分母寫成 (1+y′²)^{3/2}≠1；把兩點 R 不同當矛盾
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | t=2 | t=1 |
|---|---|---|---|
| dy/dx | (dy/dt)/(dx/dt) | 2.25 | 0.00 |
| d²y/dx² | [d(dy/dx)/dt]/(dx/dt) | 0.468750 | 1.5 |
| κ | |y″|/(1+y′²)^{3/2} | 0.031402 | 1.5 |
| R | 1/κ | 31.8446 | 0.6667 |
小結：二階導必須再除一次 dx/dt；t=2 得 κ=0.031402、R=31.8446，t=1 水平切線得 κ=1.5、R=0.6667，兩處 κR≈1 各自閉合。參數式與取點均為自編示意。
四、自測清單
- 能寫出參數方程一階導公式
- 能正確寫出二階導的兩層除法
- 能用曲率公式計算 κ 與 R
- 能在 y′=0 處化簡曲率式
- 能用 κR≈1 做回代
- 能說明不同參數點的曲率不同不矛盾
五、數值回代明細
按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：一階導 = 2.25；二階導 = 0.46875；曲率 = 0.031402；曲率半徑 = 31.84464；t=1一階導 = 0；t=1二階導 = 1.5；t=1曲率 = 1.5；t=1曲率半徑 = 0.666667。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理「參數方程求導與曲率：dy/dx、d²y/dx² 與曲率半徑」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00448《柯西不等式與權方和：條件最值與取等比例核驗》 與 example-00460《絕對值三角不等式：取等條件與多點距離和最小》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
