聯招化學·晶胞均攤法與衍射：Z、密度與布拉格角回代

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

均攤法：頂點粒子被 8 個晶胞共享計 1/8，稜上 1/4，面心 1/2，體內 1。把各位置貢獻相加即得每個晶胞的「化學式數」Z。

自編示意 AB 型晶體（非真實物質常數）：a=560.0 pm、M=58.0 g/mol、N_A=6.02e+23 mol⁻¹、Z=4；入射波長 λ=154.0 pm。全部數值按此現算。

二、逐題精講

題1

題1　(1) 用均攤法求面心立方晶胞的 Z 與配位數；(2) 求密度 ρ；(3) 求 (200) 面的一級衍射角 θ 與 2θ。

解析

(1) 頂點 8×1/8 = 1，面心 6×1/2 = 3，合計 Z = 4 = 4；面心立方最近鄰配位數為 12（與 CsCl 型的 8、NaCl 型的 6 並列比較）。稜心 12×1/4 = 3 屬另一類位置，本晶胞不計入。

(2) a = 560.0 pm = 5.600e-08 cm；a³ = 1.7562e-22 cm³；N_A·a³ = 105.721 cm³/mol；ρ = ZM/(N_Aa³) = 4×58.0/105.721 = 232.0/105.721 = 2.1945 g/cm³。

(3) d(200) = a/2 = 280.0 pm；n=1 時 sinθ = λ/(2d) = 154.0/(2×280.0) = 0.27500；θ = 15.96°，2θ = 31.92°。回代 2d sinθ = 2×280.0×0.27500 = 154.0 pm = λ ✓。

答案　Z=4，配位數 12；ρ=2.1945 g/cm³；θ=15.96°，2θ=31.92°

採分點　均攤 1+3=4 3 分；配位數 12 1 分；ρ 3 分；sinθ 與 θ、2θ 2 分；布拉格回代 1 分

易錯點　把頂點係數寫成 1/4；把 d(200) 寫成 a；把 2θ 當 θ；密度單位漏把 pm 換成 cm

題2

題2　若實驗測得 ρ=2.1945 g/cm³，反推晶胞參數 a；再說明若把 Z 誤取 1，ρ 會變成多少、偏差多少。

解析

反解：a³ = ZM/(N_Aρ) = 4×58.0/(6.02e+23×2.1945) = 1.7562e-22 cm³；a = (1.7562e-22)^(1/3) = 5.6000e-08 cm = 560.0 pm，與題給 560.0 pm 在取位內一致 ✓。

若誤取 Z=1：ρ′ = 1×58.0/(6.02e+23×1.7562e-22) = 0.5486 g/cm³ = 2.1945/4 = 0.5486 g/cm³；相對偏差 = (0.5486−2.1945)/2.1945 = −75.0%。

回代：2.1945×4 = 8.7778 ≈ 2.1945 ✓；反推 a 與題給 a 的比值 = 1.0000。三處閉合，說明 Z 是密度式裡最敏感的整數因子。

答案　a=560.0 pm；Z 誤取 1 時 ρ′=0.5486 g/cm³，偏低 75.0%

採分點　反解式 3 分；a=560.0 pm 2 分；ρ′=0.5486 2 分；−75.0% 與閉合 3 分

易錯點　開立方後忘記把 cm 換回 pm（差 10¹⁰ 量級）；把偏差寫成 +300%；用 ρ′ 反推 a 卻仍用 Z=4

三、規律小結與對照表

小結：Z=4 由 1+3 均攤而來，ρ=2.1945 與反推 a=560.0 pm 互為閉環，2θ=31.92° 由布拉格式回代 λ=154.0 pm 成立；Z 取錯會使密度整比例偏移。晶胞參數、摩爾質量、波長均為自編示意，不代表真實物質常數或儀器條件。

四、自測清單

• 能按位置係數做晶胞均攤並求 Z
• 能說出面心立方配位數 12
• 能用 ρ=ZM/(N_Aa³) 正算密度
• 能由密度反解晶胞參數並核對單位換算
• 能用 2d sinθ=nλ 求 θ 與 2θ
• 能說明 Z 取錯對密度的整比例影響

五、數值回代明細

按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：頂點均攤 = 1；面心均攤 = 3；Z合計 = 4；密度 = 2.194459；sinθ = 0.275；衍射角θ = 15.962014；2θ = 31.924028；反推a(pm) = 560。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理「晶胞均攤法與衍射：Z、密度與布拉格角回代」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00438《歧化與歸中：電勢圖判自發性、配平與產率衡算》 與 example-00450《一級反應半衰期：ln(c₀/c)=kt 與零級誤判報警》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。