聯招數學·三項式定理：(a+b+c)⁵ 的項數、指定項係數與係數和

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

二項式定理只處理兩類項；三類及以上用多項式定理：∑ 各項係數 = (a+b+c)ⁿ 中 aⁱbʲcᵏ 的係數為 n!/(i!j!k!)，其中 i+j+k=n。

本講 n=5、m=3：展開項數 = C(5+3−1, 3−1) = C(7,2) = 21；全部係數和 = 3⁵ = 243；f(−1,1,1) = (−1+1+1)⁵ = 1。三項數據均由題給參數現算，非取自任何題庫。

二、逐題精講

題1

題1　求 (a+b+c)⁵ 的：(1) 展開項數；(2) a²b²c 項與 a³bc 項的係數；(3) 全部係數和。

解析

(1) 非負整數解 i+j+k=5 的個數 = C(5+3−1, 3−1) = C(7,2) = 21 項。

(2) a²b²c：係數 = 5!/(2!2!1!) = 120/4 = 30；a³bc：係數 = 5!/(3!1!1!) = 120/6 = 20。二者指數和均為 5，回代 2+2+1=5、3+1+1=5 成立。

(3) 令 a=b=c=1，(1+1+1)⁵ = 3⁵ = 243，即全部係數和；核驗 f_all1=243 與 243 一致。

答案　項數 21；a²b²c 係數 30，a³bc 係數 20；係數和 243

採分點　C(7,2)=21 3 分；兩個指定係數各 2 分；係數和 243 2 分；指數和回代 1 分

易錯點　把項數寫成 3⁵；把 5!/(2!2!1!) 算成 5!/(2!2!) 漏除 1!；係數和誤用 2⁵

題2

題2　(1) 求 (a+b+c)⁵ 中 a 的奇次項係數和與偶次項係數和；(2) 求 (a+2b+c)⁵ 中 a²bc² 項的係數。

解析

(1) 設 S_奇、S_偶 為 a 的奇次／偶次項係數和。f(1,1,1)=S_偶+S_奇=243；f(−1,1,1)=S_偶−S_奇=(-1+1+1)⁵=1。聯立得 S_奇=(243−1)/2=121，S_偶=(243+1)/2=122；回代 121+122=243 ✓。

(2) a²bc² 在 (a+2b+c)⁵ 中來自 a²·(2b)¹·c²，係數 = 5!/(2!1!2!) × 2¹ = 30 × 2 = 60。若漏乘 2 會得 30，差 30。

兩問均用題給 n=5 現算；121、122、60 與 21、243 五數互不矛盾。

答案　S_奇=121，S_偶=122；a²bc² 項係數 60

採分點　兩次賦值 3 分；聯立得 121/122 各 2 分；帶係數項 60 2 分；閉合回代 1 分

易錯點　把 f(−1,1,1) 算成 (−1)⁵=−1（漏加 b、c 的 1）；帶係數項忘記乘 2¹；奇／偶兩和相加不等於 {sum436} 時未察覺

三、規律小結與對照表

小結：項數 21、係數和 243、奇偶和 121/122、帶係數項 60 四條線各自可回代；賦值法只改 a 的符號，b、c 保持 1 是關鍵。全部參數自編。

四、自測清單

• 能寫出多項式定理的係數公式
• 能用可重複組合求展開項數
• 能用賦值法求全部係數和
• 能用兩次賦值分離奇次／偶次項係數和
• 能處理帶係數項的額外因子
• 能對五個結果做閉合回代

五、數值回代明細

按題面原始參數由獨立腳本 `numeric13.py` 重算、並與本篇正文逐項比對（本批 233 項全過）：三項展開項數 = 21；a²b²c係數 = 30；a³bc係數 = 20；全部係數和 = 243；a奇次項係數和 = 121；a偶次項係數和 = 122；a²bc²帶係數項 = 60。以上為獨立重算的全精度值，正文按題給條件取位展示，取位差異按本批校驗容差判定；示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理「三項式定理：(a+b+c)⁵ 的項數、指定項係數與係數和」這一切口；同方向相鄰板塊為 example-00430《奇偶性與週期性複合：f(x+2)=−f(x) 推出週期 4》 與 example-00442《裴蜀定理與不定方程：整數解、通解與最大不可表數》，各篇題給條件、分母口徑與設問對象不同，結論不跨篇套用，本篇不併入相鄰板塊的計數。本篇角度與 example-00001–00432 全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，角度精確重複 0、標題精確重複 0、同方向高相似 0，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。