題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
設已知 a、b、A（A 為 a 的對角，SSA）。正弦定理給 sin B = b·sin A / a。分檔只看兩個量：h = b·sin A（b 邊上的「高」）與 b 本身：
a < h 無解（sin B > 1）；a = h 一解（B = 90°）；h < a < b 兩解（B 與 180°−B 都合法）；a ≥ b 一解（鈍角補解會使 A+B ≥ 180°）。兩解時必須分別回算 C = 180°−A−B 與 c，不能只寫一個。下面四組數據均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 四檔判定與兩解回算（計算＋簡答）
自編四組（統一 b = 8，A = 30°，故 h = b sin A = 8×0.5 = 4）：
① a=3 ② a=4 ③ a=6 ④ a=9。
(1) 逐組判無解/一解/兩解，寫出判據；對有解的組求 B（兩解組寫兩個）。
(2) 對兩解組分別求 C 與 c（用 c = a·sin C / sin A），並用餘弦定理解 c 的二次方程作互驗。
(3) 說明為什麼「a ≥ b」時補解 180°−B 一定不合法。
解析
(1) h = 8·sin30° = 8×0.5 = 4。· ① a=3 < h=4：sin B = 4/3 = 1.333 > 1 → 無解。
· ② a=4 = h：sin B = 4/4 = 1 → B = 90°，一解（直角三角形）；C = 180−30−90 = 60°，c = a·sin60/sin30 = 4×(√3/2)/(1/2) = 4√3 ≈ 6.928。
· ③ h=4 < a=6 < b=8：sin B = 4/6 = 0.666667 → B₁ = 41.8103°、B₂ = 180°−41.8103° = 138.1897°。兩解合法性：C₁ = 180−30−41.8103 = 108.1897° > 0 ✅；C₂ = 180−30−138.1897 = 11.8103° > 0 ✅，兩解都成立。
· ④ a=9 ≥ b=8：sin B = 4/9 = 0.444444 → B₁ = 26.3878°，補解 B₂ = 153.6122° 會使 A+B₂ = 30+153.6122 = 183.6122° > 180° → 不合法，故一解；C = 180−30−26.3878 = 123.6122°。
(2) 兩解組 ③ 的 c 回算（a=6, sin A=0.5，故 c = 12·sin C）：
· B₁ 路：C₁=108.1897°，sin C₁ = 0.949918 → c₁ = 12×0.949918 = 11.3990；
· B₂ 路：C₂=11.8103°，sin C₂ = 0.204624 → c₂ = 12×0.204624 = 2.4555。
餘弦定理互驗：a² = b² + c² − 2bc·cos A → 36 = 64 + c² − 16c·(√3/2) → c² − 8√3·c + 28 = 0（8√3≈13.8564）。
判別式 Δ = (8√3)² − 4×28 = 192 − 112 = 80 > 0，兩根 c = [8√3 ± √80]/2 = 4√3 ± 2√5：
4√3 + 2√5 = 6.9282 + 4.4721 = 11.4003；4√3 − 2√5 = 6.9282 − 4.4721 = 2.4561。
與正弦定理的 11.3990 / 2.4555 取位內一致（差來自角度四位取位）✅。二次方程兩根為正，正對應兩解——這給了一條不靠「補角合法性」的獨立判據：Δ>0 且兩根均正 ⇒ 兩解。
(3) a ≥ b 時補解不合法：由正弦定理 a/sin A = b/sin B，a ≥ b 等價於 sin A ≥ sin B；在 A=30° 這類銳角情形下，B₁ 必 ≤ A 或與 A 同側，而補解 B₂ = 180° − B₁ ≥ 150°（因 B₁ ≤ 30°），於是 A + B₂ ≥ 30°+150° = 180°（本題 183.61° 更明顯），C ≤ 0，三角形不成立。一般表述：大邊對大角，a ≥ b 要求 A ≥ B，故 B 只能是銳角那個解；補解是鈍角，必使 A+B 超限。回驗：④ 的 B₁=26.3878° ≤ A=30° ✅ 與 a=9>b=8 一致。
答案 (1) h=4；①無解(sinB=4/3>1)、②一解 B=90°、③兩解 B=41.8103°/138.1897°、④一解 B=26.3878°（補解使 A+B=183.61°>180°）。(2) c₁=11.3990、c₂=2.4555；餘弦定理 c²−8√3c+28=0 兩根 4√3±2√5≈11.4003/2.4561，取位內一致（差來自 B 四位取位）。(3) a≥b ⇒ A≥B，補解為鈍角必使 A+B>180°、C≤0。
採分點 h=4 1 分；四檔判定各 1 分；兩解 B 值 1 分；兩 C 合法性 1 分；c₁/c₂ 1 分；餘弦定理方程 1 分；Δ=80 與兩根 1 分；兩路互驗一致 1 分；(3) 大邊對大角 1 分；A+B>180° 回算 1 分。
易錯點 把 h 算成 b/cosA；兩解組只寫一個 B；忘記驗 C>0 就保留補解；a≥b 仍保留兩個解；用餘弦定理時把 2bc cosA 係數算錯（應為 16c·cos30）；把二次方程兩根一正一負仍判兩解；角度取位差當成方法錯。
題2
題2 鈍角 A、邊角互化選路與面積
(1) 自編變式：b=8，A=120°（鈍角），a=9。判解的個數並求 B、C、c；說明「A 為鈍角」時分檔判據要怎麼改。
(2) 對③ 兩解組分別求三角形面積 S = ½·b·c·sin A，比較大小；再求兩解中外接圓半徑 R 是否相同。
(3) 歸納：什麼時候優先用正弦定理、什麼時候優先用餘弦定理？「邊角互化」各自適合什麼題型？
解析
(1) A=120° 為鈍角，則 a 必須是最大邊（鈍角對最大邊）。sin B = b·sin A / a = 8·sin120°/9 = 8×(√3/2)/9 = 4√3/9 = 0.769800 → B₁ = 50.3360°；補解 B₂=129.6640° 會使 A+B₂ = 120+129.6640 = 249.6640° > 180°，不合法。且 a=9 > b=8 ✅ 滿足最大邊條件，故一解。
C = 180 − 120 − 50.3360 = 9.6640°；c = a·sin C / sin A = 9×0.167862/0.866025 = 1.7446。
餘弦定理互驗：81 = 64 + c² − 16c·cos120° = 64 + c² + 8c → c² + 8c − 17 = 0，正根 c = [−8 + √(64+68)]/2 = (−8+√132)/2 = (−8+11.4891)/2 = 1.7446，取位內一致 ✅（另一根為負，捨去）。
分檔改動：A 為鈍角時不再用「h=b sinA 與 b 比較」的四檔，改為單條件：a > b（且 a 為最大邊）才有一解，a ≤ b 一律無解。因為鈍角已佔去 >90°，剩下兩角之和 <90°，B 只能是銳角小角，不存在「兩解」空間；sin B < 1 只是必要非充分條件。回驗：若取 a=7 < b=8，sin B = 4√3/7 = 0.9897 < 1 看似有解，但 a<b 與「鈍角對最大邊」矛盾，餘弦定理給 c²+8c+15=0 兩根皆負 → 無解 ✅。
(2) 面積與 R（③組 a=6, b=8, A=30°）：
S = ½·b·c·sin A = ½×8×c×0.5 = 2c。
· B₁ 路 c₁=11.3990 → S₁ = 22.7980；
· B₂ 路 c₂=2.4555 → S₂ = 4.9110；
S₁/S₂ = c₁/c₂ = 4.6422（兩解面積差約 4.64 倍）。用精確根核：(4√3+2√5)/(4√3−2√5) = 11.4003/2.4561 = 4.6416，取位內一致 ✅。
外接圓半徑：R = a/(2 sin A) = 6/(2×0.5) = 6。兩解相同——因為 a 與 A 是題給固定量，R 只由這一組「邊及其對角」決定，與取 B₁ 還是 B₂ 無關。回驗：R = b/(2 sin B) = 8/(2×0.666667) = 6 ✅；R = c₁/(2 sin C₁) = 11.3990/(2×0.949918) = 6.0000 ✅，三路閉合。結論：SSA 兩解共享同一個外接圓，差別只在 B、C、c 與面積。
(3) 選路歸納：
· 優先正弦定理：已知「一邊及其對角」（a 與 A 成對出現），要求角（sin B = b sin A / a）或求外接圓半徑 R = a/(2 sin A)；SSA 判解個數也靠它。
· 優先餘弦定理：已知兩邊及夾角（SAS）求第三邊、已知三邊（SSS）求角、或SSA 想避開「補角合法性」討論——把 c 當未知數解二次方程，Δ 與根的正負直接給解的個數（本題 Δ=80>0 兩根正 ⇒ 兩解）。
· 邊角互化：「角化邊」（用餘弦定理把 cos A 換成 (b²+c²−a²)/(2bc)）適合判斷形狀、證恆等式、求範圍；「邊化角」（用正弦定理把 a=2R sin A 代入）適合齊次式化簡、求 R、判解個數。
紀律：凡 SSA，先算 h=b sinA 分檔；凡出現補角，必驗 C>0；能用餘弦定理解二次方程時，拿 Δ 與根的正負再獨立核一遍。
答案 (1) A=120° 鈍角時改為「a>b 且 a 為最大邊才一解」；本題一解 B≈50.3360°、C≈9.6640°、c≈1.7446，餘弦定理 c²+8c−17=0 正根互驗。(2) S₁=22.7980、S₂=4.9110（比約 4.64 倍）；兩解 R 同為 6，三路閉合。(3) 選路與邊角互化歸納見上。
採分點 鈍角改判據 1 分；a>b 最大邊條件 1 分；B≈50.3360° 1 分；C 與 c 1 分；c²+8c−17=0 正根互驗 1 分；a≤b 無解回驗 1 分；S=2c 兩值 1 分；面積比 1 分；R=6 三路閉合 1 分；兩類選路各 1 分；邊角互化兩類 1 分；SSA 紀律 1 分。
易錯點 鈍角 A 仍套 h 四檔判兩解；用 sinB<1 就斷言有解（忽略 a>b）；補解不驗 A+B；把兩解外接圓判成不同；面積用 ½ab sinC 卻錯代角；餘弦定理 cos120° 符號寫成負負得正；二次方程負根不捨。
三、規律小結與對照表
| a 與 h=b sinA、b | sin B | 解數 | 補解合法性 | 餘弦定理 Δ | 本題組 |
|---|---|---|---|---|---|
| a<h | >1 | 無解 | — | 無實根 | ① a=3 |
| a=h | =1 | 一解(B=90°) | — | Δ=0 | ② a=4 |
| h<a<b | (0,1) | 兩解 | 兩個 C 均>0 | Δ>0 兩根正 | ③ a=6 |
| a≥b | (0,1) | 一解 | A+B₂>180° | 一正根(另根不合) | ④ a=9 |
| A 鈍角 | 需 a>b 且最大邊 | 一解或無解 | 補解必不合法 | 負根捨去 | (1) A=120° |
| 兩解 R | a/(2sinA) | 相同 | — | — | R=6 |
| 兩解面積 | S=½bc sinA=2c | S₁/S₂=c₁/c₂ | — | — | 22.798/4.911 |
| c 二次方程 | c²−8√3c+28=0 | 兩解 | — | Δ=80 | 4√3±2√5 |
| 邊角互化 | 角化邊 / 邊化角 | — | — | — | 判形狀 / 求 R |
SSA 只記「先算 h = b·sin A，再按 a 與 h、b 分四檔」：a<h 無解、a=h 一解、h<a<b 兩解、a≥b 一解。本題 b=8、A=30° 得 h=4，兩解組 B=41.8103°/138.1897°、c=11.3990/2.4555，用餘弦定理 c²−8√3c+28=0（Δ=80，兩根 4√3±2√5）獨立互驗；兩解共享 R=6 而面積差約 4.64 倍。A 為鈍角時改判「a 必須最大邊」，不再套四檔。凡補解必驗 C>0。數據均為自編示意，不代表任何真題或題庫題目。
四、自測清單
- □ 先算 h=b·sinA，再按 a 與 h、b 分四檔；
- □ 兩解時寫出 B 與 180°−B，並分別驗 C>0；
- □ a≥b 或 A 鈍角時排除鈍角補解；
- □ 用餘弦定理解 c 的二次方程，拿 Δ 與根的正負互驗；
- □ 兩解 R 相同、面積隨 c 變，不混答；
- □ 已知「邊及其對角」優先正弦，SAS/SSS 優先餘弦。
