聯招數學·基本不等式與「1 的代換」：a+b 最小值 9 與等號條件

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

條件最值裡，「1 的代換」就是把題給那個等於 1 的式子乘進目標式：目標不變（乘的是 1），但展開後會出現互為倒數的兩項，正好用基本不等式。

自編題：a>0, b>0, 1/a + 4/b = 1，求 a+b 的最小值。
(a+b)·1 = (a+b)(1/a+4/b) = 1 + 4a/b + b/a + 4 = 5 + 4a/b + b/a ≥ 5 + 2√(4a/b · b/a) = 5 + 4 = 9。
但還沒完：等號要 4a/b = b/a，即 b=2a；必須代回原條件驗證 a=3, b=6 確實滿足 1/3+4/6=1，最小值 9 才真的取得到。下面兩題數據均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 「1 的代換」與取等回代（計算＋簡答）

已知 a>0, b>0，且 1/a + 4/b = 1。
(1) 用「1 的代換」求 a+b 的最小值，寫出完整展開與取等條件，並回代驗證。
(2) 變式：若條件改為 1/a + 9/b = 1，求 a+b 的最小值及此時 a、b；歸納一般式 1/a + k²/b = 1 的結果。
(3) 某同學這樣解 (1)：由 1/a+4/b=1 ≥ 2√(4/(ab)) 得 ab≥16，又 a+b≥2√ab≥8，故最小值 8。指出錯在哪。

解析

(2) 變式 1/a+9/b=1：
(a+b)(1/a+9/b) = 1 + 9a/b + b/a + 9 = 10 + 9a/b + b/a ≥ 10 + 2√9 = 16。
取等：9a/b = b/a → b = 3a；代回 1/a + 9/(3a) = 1/a + 3/a = 4/a = 1 → a = 4，b = 12。
回驗：1/4 + 9/12 = 0.25 + 0.75 = 1 ✅；a+b = 16 ✅。
一般式 1/a + k²/b = 1（k>0）：(a+b) = 1 + k²a/b + b/a + k² ≥ 1 + k² + 2k = (k+1)²；取等 b = k a，代回 1/a + k²/(ka) = (1+k)/a = 1 → a = k+1，b = k(k+1)，a+b = (k+1)+k(k+1) = (k+1)² ✅。本題 k=2 得 9、k=3 得 16，兩例都落在一般式上。

(3) 錯在「兩次基本不等式的等號條件互相沖突」：
第一步 1/a+4/b ≥ 2√(4/(ab)) 取等需 1/a = 4/b → b = 4a；
第二步 a+b ≥ 2√ab 取等需 a = b。
兩者不能同時成立（除非 a=b=0，與 a,b>0 矛盾）。因此「ab≥16」與「a+b≥2√ab」不能串聯成 a+b≥8 的可取等下界：8 只是把兩個不同時成立的等號硬疊出來的數，實際 a+b 最小是 9（在 a=3,b=6 處，此時 ab=18 ≥ 16，但 a≠b，第二步並不取等）。
核算對照：在真實取等點 a=3,b=6，ab=18，第一步 1/a+4/b=1 而 2√(4/18)=2×0.4714=0.9428 < 1（第一步不取等）；第二步 2√18=8.485 < 9（也不取等）。一般紀律：凡多次使用基本不等式，必須把所有取等條件聯立求解；解不出公共解，得到的下界就只是「下界」，不是最小值。「1 的代換」之所以穩，正是因為它只用一次不等式、取等條件唯一且可回代。

答案　(1) a+b=5+4a/b+b/a≥9，取等 b=2a 回代得 a=3,b=6，三路閉合。(2) 1/a+9/b=1 時最小值 16（a=4,b=12）；一般式 1/a+k²/b=1 得最小值 (k+1)²，取等 a=k+1,b=k(k+1)。(3) 錯在兩次取等條件 b=4a 與 a=b 衝突，8 不可取；真實點 ab=18 處兩步都不取等。

採分點　展開得 5+4a/b+b/a 1 分；用基本不等式得 ≥9 1 分；取等 b=2a 1 分；回代 a=3,b=6 1 分；三路閉合驗證 1 分；變式得 16 1 分；a=4,b=12 1 分；一般式 (k+1)² 與取等點 1 分；指出兩次取等條件衝突 1 分；用 ab=18 核算兩步均不取等 1 分；寫出「多次用須聯立取等」紀律 1 分。

易錯點　乘「1」時漏乘或把 4/b 寫成 4a；把 ≥9 當結果卻不回代取等；一般式寫成 (k+1) 而非平方；把兩次不等式的下界串聯當最小值；忽略 a,b>0 直接開方取負根；把 ab≥16 當成 ab=16。

題2

題2 和與積的互求、取不取等與「湊 1」變式

(1) 自編變式：x>0, y>0，x + 2y = 1，求 1/x + 1/y 的最小值。用「把 x+2y=1 乘進去」的做法，寫出取等條件與精確最小值，並回代驗證。
(2) 若把題 1 的條件改成 1/a + 4/b = 2（a,b>0），還能直接照搬「1 的代換」得 9 嗎？給出正確最小值與取等點。
(3) 歸納：什麼條件下「1 的代換」可以直接用，什麼情況下要先把常數歸一？

解析

(2) 不能直接照搬。因 1/a+4/b=2，(a+b)·2 = (a+b)(1/a+4/b) = 5+4a/b+b/a ≥ 9，故 2(a+b) ≥ 9 → a+b ≥ 4.5，而不是 9。
嚴格做法（先歸一）：把條件除以 2 得 1/(2a) + 2/b = 1？更簡潔是令 A = 1/a + 4/b = 2，直接用上式：a+b ≥ 9/2 = 4.5。
取等：仍需 4a/b = b/a → b = 2a；代回 1/a + 4/(2a) = 3/a = 2 → a = 1.5，b = 3。
回驗：1/1.5 + 4/3 = 0.6667 + 1.3333 = 2 ✅；a+b = 4.5 ✅；展開式 5 + 4·1.5/3 + 3/1.5 = 5+2+2 = 9，除以 2 得 4.5 ✅。
對照：把條件常數從 1 改成 2，最小值從 9 變成 9/2，正好按常數成反比縮放；若照搬得 9 就翻倍錯了。

(3) 歸納：
· 可直接用：題給條件本身就是「某個含 a、b 的式子 = 1」，且目標式乘上它之後能展開成「常數 + 互為倒數（或常數倍互倒）的兩項」，一次不等式即可定值、取等條件唯一可回代。
· 須先歸一：條件等於常數 c ≠ 1（如 =2、=3）時，先把條件兩邊除以 c 化成 =1，或像 (2) 那樣在結果裡除以 c；否則乘進去的是 c 而不是 1，目標式被整體放大 c 倍。
· 另一類「湊 1」：條件給的是和 = 1（如 x+2y=1），同樣把整個和乘進目標式，展開後湊出互倒項——「1」不一定要長成分式。
· 通用紀律：乘的必須是恆等於 1 的整體；展開後只剩一個可配對的互倒對；取等條件聯立可解並回代原條件；多次用不等式須檢查等號能否同時取到。四條缺一，得到的就只是下界而非最小值。

答案　(1) (1/x+1/y)(x+2y)=3+2y/x+x/y≥3+2√2≈5.828427，取等 x=√2y 得 x=√2−1≈0.414214、y=(2−√2)/2≈0.292893，回代閉合。(2) 不能照搬；2(a+b)≥9 故最小值 4.5，取等 a=1.5,b=3。(3) 條件式=1 可直接乘；=c≠1 須先歸一或結果除以 c；和=1 亦屬湊 1；四條通用紀律見上。

採分點　(1) 展開 3+2y/x+x/y 1 分；≥3+2√2 1 分；取等 x=√2y 1 分；x=√2−1、y=(2−√2)/2 1 分；回代 x+2y=1 與 3+2√2 閉合 1 分；(2) 指出不能照搬 1 分；2(a+b)≥9 得 4.5 1 分；a=1.5,b=3 並回驗 1 分；指出按常數成反比縮放 1 分；(3) 四類歸納各 1 分。

易錯點　把 x+2y=1 誤當分式條件去湊；展開時漏掉常數項 2；取等解出 x=√2y 後不回代；(2) 直接報 9；(2) 歸一後忘記除以 c 或除錯方向；把「和=1」排除在湊 1 之外；多次用不等式不聯立取等條件。

三、規律小結與對照表

「1 的代換」只記四條：乘的必須是恆等於 1 的整體；展開後湊出一對互倒項；只用一次不等式；取等條件回代原條件。本題 1/a+4/b=1 得 a+b≥9（a=3,b=6），變式 1/a+9/b=1 得 16，一般式 (k+1)²；條件改成 =2 時須先歸一，最小值變 4.5。最該防的是串聯兩次基本不等式——b=4a 與 a=b 取不到公共解，疊出的 8 只是下界，不是最小值。條件與數值均為自編示意，不代表任何真題或題庫題目。

四、自測清單

• □ 先確認題給哪個整體恆等於 1，再乘進目標式；
• □ 展開逐項寫全，常數項不要漏；
• □ 只用一次基本不等式，配出互倒對；
• □ 取等條件代回原條件解出具體 a、b；
• □ 條件 =c≠1 時先歸一或結果除以 c；
• □ 多次用不等式須聯立取等，解不出公共解只算下界。