題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
累積法的原理很樸素：設單次讀數的絕對誤差約 δ，直接測單量時相對誤差 δ/x；測 n 個的總量 nx 再除以 n，單次量變成 (nx±δ)/n = x ± δ/n，相對誤差降為原來的 1/n。前提是 n 個數得數對：紙的張數、細絲的匝數、擺的全振動次數，錯一個基準，整組數據全偏。
三項自編測量：① 100 張紙總厚 8.00 mm；② 細絲在鉛筆上密繞 40 匝，線圈寬度 6.00 mm；③ 單擺 50 次全振動計時 100.0 s，擺長 L=1.000 m。下面數據均為自編示意，器材與讀數不代表任何真實測量。
二、逐題精講
題1
題1 三項換算與誤差分攤（填空＋簡答）
按上述三項自編讀數作答：
(1) 一張紙厚度 d₁＝？ (2) 細絲直徑 d₂＝？ (3) 單擺週期 T＝？並由 L=1.000 m 求 g。
(4) 若三次讀數的絕對誤差都約 δ=0.02 mm（厚度/寬度）／0.10 s（計時），分別寫出「直接測單量」與「累積 n 次」下的相對誤差，說明 1/n 關係。
解析
(1) d₁ = 8.00 mm / 100 = 0.0800 mm（＝80.0 μm）。(2) d₂ = 6.00 mm / 40 = 0.1500 mm（＝150.0 μm）。注意密繞才成立：匝與匝之間無縫隙，線圈寬度＝40×直徑；若有間隙，測得的是「直徑＋隙寬」，結果偏大。
(3) T = 100.0 s / 50 = 2.000 s。由單擺 T=2π√(L/g) 得 g = 4π²L/T² = 4π²×1.000/4.000 = π² ≈ 9.8696 m/s²。回驗：T²=4.000 s²，4π²≈39.4784，39.4784/4.000=9.8696 ✅；若取 g≈9.87 反推 T=2π√(1.000/9.8696)=2.000 s，兩路閉合。
(4) 相對誤差對照（δ 為總量讀數誤差，除以 n 後才是單量誤差）：
· 紙厚：直接測 1 張，δ/d₁ = 0.02/0.0800 = 25%；累積 100 張，(0.02/100)/0.0800 = 0.0002/0.0800 = 0.25%，恰為 1/100。
· 細絲：直接測 1 匝寬度，δ/d₂ = 0.02 mm/0.1500 mm = 13.3%；累積 40 匝，(0.02/40)/0.1500 = 0.0005/0.1500 = 0.333%，為 1/40。
· 週期：直接測 1 次全振動，δ_T/T = 0.10/2.000 = 5.0%；累積 50 次，(0.10/50)/2.000 = 0.002/2.000 = 0.10%，為 1/50。
結論：三組的「累積/直接」相對誤差比分別是 1/100、1/40、1/50，正是 1/n；且 g 對 T 是平方敏感（g∝T⁻²），週期相對誤差 ε 會放大成約 2ε 的 g 相對誤差——直接測 1 次時 g 誤差約 10%，累積 50 次後約 0.20%。
答案 (1) 0.0800 mm；(2) 0.1500 mm；(3) T=2.000 s，g=π²≈9.8696 m/s²；(4) 直接相對誤差 25% / 13.3% / 5.0%，累積後 0.25% / 0.333% / 0.10%，均為 1/n；g 誤差約放大為 2ε。
採分點 d₁=0.0800 mm 1 分；d₂=0.1500 mm 並點明「密繞無縫隙」1 分；T=2.000 s 1 分；g=4π²L/T² 公式 1 分；g≈9.8696 1 分；三組直接相對誤差各 1 分；三組累積相對誤差各 1 分；寫出 1/n 關係 1 分；指出 g∝T⁻² 故誤差約 2ε 1 分。
易錯點 把 8.00 mm/100 算成 0.8 mm；把 6.00 mm/40 算成 0.015 mm（多除 10）；密繞有間隙仍直接除；把 100.0 s/50 當成 0.5 次振動；把 g=4π²L/T² 寫成 2πL/T；漏掉 g 對 T 的平方敏感。
題2
題2 計數基準錯誤與誤差方向
自編：另一組同學仍用 L=1.000 m、總計時 100.0 s，但把擺球 50 次經過平衡位置誤記成「50 次全振動」；又一組把紙疊數成 99 張卻仍按 100 張除。
(1) 分別算出兩組得到的 T 與 g（或紙厚），並給出偏大/偏小的方向與百分比。
(2) 說明「經過平衡位置次數」與「全振動次數」的換算關係；若要靠增加 n 壓誤差，n 是不是越大越好？寫出兩條實際限制。
解析
(1) 計時組：一個全振動中擺球經過平衡位置 2 次（去一次、回一次），故 50 次經過＝25 次全振動。但他們按 50 次除：T′ = 100.0/50 = 2.000 s（數值碰巧與正確值相同！）。關鍵點：這裡的錯誤不體現在「按 50 除」這一步，而體現在他們數的 50 次其實只有 25 次全振動——真實總計時若對應 25 次全振動，則真實週期應為 T真 = 100.0/25 = 4.000 s，而他們報 2.000 s，週期偏小 50%；由 g=4π²L/T² 得 g′ = 4π²×1.000/4.000 = 9.8696 m/s²，真實應為 g真 = 4π²/16.000 = 2.4674 m/s²，即 g 偏大 4 倍（+300%）。
更規範的表述：設他們實際數的是 50 次經過平衡位置（＝25 次全振動）卻記成 50 次全振動，則按記錄算 T=2.000 s、g=9.8696；若按真實全振動數應為 T=4.000 s、g=2.4674。方向：把「經過次數」當「全振動次數」會使 n 偏大 2 倍 → T 偏小 1/2 → g 偏大 4 倍（因 g∝T⁻²）。本題兩組數字（2.000 與 4.000）恰好構成 2 倍關係，回代 4.000²/2.000²=4 倍閉合。
紙厚組：99 張總厚仍記 8.00 mm，按 100 除得 d′=0.0800 mm；真實單張 = 8.00/99 = 0.080808… mm，故報出值偏小，相對偏差 = (0.0800−0.080808)/0.080808 ≈ −1.00%。反過來若把 100 張數成 101 張按 100 除則偏大 1 倍張數差，方向相反。計數錯誤不會被 1/n 攤薄——它是系統性的基準錯，n 越大反而把「少一張」的絕對張數差固定成 1/n 的系統偏差。
(2) 換算：全振動次數 = 經過平衡位置次數 ÷ 2（從一側最大位移出發計時，回到同側同向為一次全振動；若從平衡位置起計且同向才算一次，則次數關係另論，須在題幹寫明起計點）。
n 不是越大越好，兩條實際限制：① 累積量超量程或條件改變——紙疊太厚會被壓緊（紙間空隙被壓縮，測的不是原厚度）、細絲繞太多匝會疊層或鬆動、單擺計時太久振幅衰減明顯、空氣阻力與懸點摩擦使週期緩慢漂移；② 計數本身的可靠性下降——n 很大時人工數匝數/振動次數反而易漏數或重複，而漏一個的系統誤差不隨 n 減小。實踐上取到讀數分辨力允許、且單次計數可靠的 n 即可，再配合多次獨立重複取平均。
答案 (1) 誤按 50 次全振動得 T=2.000 s、g=9.8696；真實 25 次全振動應 T=4.000 s、g=2.4674 → T 偏小 1/2、g 偏大 4 倍。99 張按 100 除得 0.0800 mm，真實 0.080808 mm，偏小約 1.00%。(2) 全振動次數＝經過平衡位置次數÷2（須寫明起計點）；n 受量程/條件改變與計數可靠性兩條限制，且計數系統誤差不被 1/n 攤薄。
採分點 指出一次全振動過平衡位置 2 次 1 分；真實 25 次全振動 1 分；T真=4.000 s 1 分；g真=2.4674 1 分；g 偏大 4 倍並回代 4 倍閉合 1 分；紙厚真實 0.080808 mm 1 分；偏小約 1.00% 1 分；指出計數錯不被 1/n 攤薄 1 分；換算關係並提起點條件 1 分；兩條實際限制各 1 分。
易錯點 把「50 次經過」直接當 50 次全振動還認為沒錯；只說 g 偏大不給倍數；把紙厚方向說成偏大；認為 n 越大誤差一定越小；漏掉「起計點須寫明」這一前提；把系統計數誤差與隨機讀數誤差混為一談。
三、規律小結與對照表
| 測量項 | 累積量 | n | 單量結果 | 直接相對誤差 | 累積後相對誤差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 紙厚 | 8.00 mm | 100 張 | 0.0800 mm | 25% | 0.25%（1/100） |
| 細絲直徑 | 6.00 mm（密繞） | 40 匝 | 0.1500 mm | 13.3% | 0.333%（1/40） |
| 單擺週期 | 100.0 s | 50 次全振動 | T=2.000 s | 5.0% | 0.10%（1/50） |
| 重力加速度 | L=1.000 m, T=2.000 s | — | g=9.8696 m/s² | 約 10%（2ε） | 約 0.20% |
| 計時基準錯 | 100.0 s 當作 50 次全振動 | 實為 25 次 | T真=4.000 s | g真=2.4674 | g 偏大 4 倍 |
| 張數基準錯 | 8.00 mm 數成 99 張 | 按 100 除 | 0.0800 mm | 真實 0.080808 | 偏小約 1.00% |
| 誤差性質 | 讀數 δ | 除以 n | δ/n | 隨機，可被攤薄 | 計數錯為系統，不被攤薄 |
累積法的落點是「數對 n，再除以 n」：隨機讀數誤差按 1/n 攤薄，但匝數、張數、全振動次數數錯是系統偏差，攤不掉。本題三組直接相對誤差 25%／13.3%／5.0%，累積後 0.25%／0.333%／0.10%，正好是 1/100、1/40、1/50；又因 g∝T⁻²，週期誤差會翻倍傳到 g。把「經過平衡位置 50 次」當「50 次全振動」，T 小一半、g 大四倍，回代 4.000²/2.000²=4 即可驗出。器材、讀數與擺長均為自編示意，不代表任何真實測量或當地 g 的實測值。
四、自測清單
- □ 先確認「密繞無縫隙」「從哪點起計全振動」兩個前提；
- □ 累積量除以 n 得單量，單位同步換算；
- □ 相對誤差按 1/n 攤薄，只對隨機讀數誤差成立；
- □ 區分「經過平衡位置次數」與「全振動次數」；
- □ 用 g=4π²L/T² 回代，注意 g 對 T 平方敏感；
- □ 計數錯屬系統偏差，n 增大不消除，改靠重複計數與平均。
