題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
自然光以某特定角入射到兩種介質界面時，反射光中平行於入射面的 p 分量為零，只剩垂直分量（完全 s 線偏振）；這個角叫布儒斯特角（起偏角）i_B。此時反射光線與折射光線互相垂直，即 i_B ＋ r ＝ 90°。
由斯涅爾定律 n₁ sin i_B ＝ n₂ sin r ＝ n₂ cos i_B，得 tan i_B ＝ n₂/n₁。若 n₁≈1（空氣），則 n₂＝tan i_B。下面角度與折射率均為自編示意數據。
二、逐題精講
題1
題1 玻璃的 i_B 與三路回驗（解答題）
自編題設：光從空氣（n₁＝1.000）射向某玻璃（示意 n₂＝1.500），旋轉檢偏器找到反射光最弱的位置，讀得 i_B。
(1) 求 i_B、折射角 r，並用斯涅爾定律獨立回驗 n₂；(2) 說明此時反射光與折射光各是什麼偏振態；(3) 若把入射介質換成水（示意 n＝1.333，光從水射向該玻璃），i_B 變成多少？說明 tan i_B＝n₂/n₁ 裡 n₁ 不能省。
解析
(1) i_B ＝ arctan(n₂/n₁) ＝ arctan(1.500) ≈ 56.30993°。r ＝ 90° − i_B ≈ 33.69007°（互餘條件）。
斯涅爾獨立回驗：
sin i_B ＝ sin56.30993° ≈ 0.832050；sin r ＝ sin33.69007° ≈ 0.554700；
n₂ ＝ n₁·sin i_B/sin r ＝ 1.000×0.832050/0.554700 ＝ 1.5000 ✓，與題設一致。
第三路（互餘關係代數驗）：取 n₂/n₁＝1.5 ⇒ tan i_B＝1.5 ⇒ sin i_B＝1.5/√(1+2.25)＝1.5/1.802776＝0.832050 ✓；cos i_B＝1/1.802776＝0.554700＝sin r ✓，故 i_B＋r＝90° 成立。三路閉合：正切公式、斯涅爾比值、三角恆等式。
(2) 反射光：完全線偏振（s 分量，電矢量垂直入射面）——p 分量在 i_B 處反射率為零，故用檢偏器旋轉到某角度時反射光可近乎消光，這正是實驗上找 i_B 的判據。
折射光：部分偏振（p 分量佔優但 s 分量不為零），不是完全偏振；單次界面透射的起偏程度有限，故實用上用玻璃片堆多次透射來增強起偏（每次都削弱 s 的相對份額）。
注意別寫反：「反射光完全偏振、折射光部分偏振」是反射起偏的說法；若是透射起偏的片堆，討論的是折射光被逐次提純，兩者不是同一句結論。判據：題目問「此時界面上的反射光」，答完全 s 偏振；問「透過一片之後」，答部分偏振。
(3) 光從水（n₁＝1.333）射向同一玻璃（n₂＝1.500）：
tan i_B ＝ n₂/n₁ ＝ 1.500/1.333 ＝ 1.12528 ⇒ i_B ＝ arctan(1.12528) ≈ 48.37°（示意值，按 arctan 精確算約 48.374°）。
為什麼 n₁ 不能省：布儒斯特角由兩介質折射率之比決定，不是隻由「被測的那塊玻璃」決定。若仍套 n＝tan i_B 且把 i_B 當成 56.31°，就會得到 1.500；而真實入射介質換成水后角已變到約 48.37°，再用 tan 反推必須乘回 n₁：n₂＝n₁ tan i_B＝1.333×1.12528＝1.500 ✓。
回驗：r＝90°−48.374°＝41.626°；n₁ sin i_B＝1.333×sin48.374°＝1.333×0.74741≈0.9964；n₂ sin r＝1.500×sin41.626°＝1.500×0.66427≈0.9964 ✓，兩側相等。
邊界口徑：只有從光疏到光密（n₂>n₁）且入射介質折射率已知時，n₂＝n₁ tan i_B 才直接可用；若 n₁ 未知或入射方向相反（從玻璃射向空氣），須寫全比值式並另查全反射臨界角（00227 所講）判斷 i_B 是否可觀測。
答案 (1) i_B=arctan(1.500)≈56.30993°、r≈33.69007°；斯涅爾 0.832050/0.554700=1.5000 回驗，另由 sin=1.5/√3.25、cos=1/√3.25 代數閉合。(2) 反射光為完全 s 線偏振（可近消光），折射光為部分偏振（p 佔優），片堆多次透射可增強起偏。(3) 水中 n₁=1.333 時 tan i_B=1.500/1.333=1.12528、i_B≈48.37°；n₂=n₁ tan i_B=1.500 回驗，說明 n₁ 不可省、須用比值式。
採分點 i_B≈56.30993° 1 分；r≈33.69007° 與互餘 1 分；sin i_B=0.832050 1 分；sin r=0.554700 1 分；比值 1.5000 回驗 1 分；三角恆等式第三路 1 分；(2) 反射光完全 s 偏振 1 分；折射光部分偏振 1 分；片堆增強起偏 1 分；(3) 比值 1.12528 與 i_B≈48.37° 1 分；n₂=n₁tan i_B=1.500 回驗 1 分；說明 n₁ 不可省與邊界條件 1 分。
易錯點 把 i_B 寫成 arcsin(n₂/n₁)；把 r 寫成等於 i_B；把 sin i/sin r 寫成 sin r/sin i；說折射光也是完全偏振；把「反射光完全偏振、折射光部分偏振」說反；換水後仍用 n=tan i_B 不乘 n₁；漏掉從光密射向光疏時 i_B 與全反射臨界角的關係。
題2
題2 誤差傳導與偏振判據（解答題）
(1) 在題 (1) 的玻璃例中，若 i_B 讀數偏大 1.00°（56.30993°→57.30993°），由 n＝tan i_B 反推的 n′ 是多少、偏差多少？說明為什麼角度誤差被放大；(2) 若 n₁ 記偏 +1.00%（1.000→1.010）而 i_B 不變，n₂ 偏多少？(3) 實驗上用什麼現象判定 i_B 已經找到？若把「反射光最弱」誤當成「折射光最弱」，會有什麼後果？
解析
(1) n′ ＝ tan(57.30993°)。tan(56.30993°) ＝ 1.5000；tan(57.30993°) ≈ 1.5583（按正切在 56° 附近的靈敏度估算）。
相對偏差 ＝ (1.5583 − 1.5000)/1.5000 ＝ +3.88%。
為什麼被放大：n＝tan i 是非線性函數，導數 dn/di ＝ sec²i ＝ 1＋tan²i ＝ 1＋2.25 ＝ 3.25（每弧度）。1.00° ＝ 0.0174533 rad ⇒ Δn ≈ 3.25×0.0174533 ＝ 0.05672，即 n′≈1.5567，相對偏差 0.05672/1.5＝+3.78%；精確用 tan(57.30993°) 得 1.5583、+3.88%。一階近似與精確值之差來自正切的二階項（3.78% vs 3.88%），如實登記，不抹平。
結論：1° 的角度誤差經正切放大成約 3.8% 的折射率誤差，比線性量具誤差厲害。這與 00389 線脹裡「漏因子 2 是結構錯誤」、00371 扭擺裡「r 四次方」共同說明：看誤差要先看函數形式，不能只看讀數精度。處置上應多次正反旋轉取消光位置的平均，並用左右兩側入射各測一次抵消零點偏差。
(2) 由 n₂ ＝ n₁ tan i_B，i_B 不變則 tan i_B＝1.5000 固定：
n₂′ ＝ 1.010×1.5000 ＝ 1.5150，相對偏差 +1.00%（n₁ 在分子一次方，同向同量傳導）。
對照：n₁ 是線性因子（+1%→+1%），i_B 經正切放大（+1°→約 +3.8%），二者敏感度差近 4 倍；所以這項實驗裡角度讀數的權重遠高於入射介質折射率的取位。
(3) 判定現象：以自然光入射、在反射光路放檢偏器並旋轉，緩慢改變入射角；當反射光出現最深的消光（最弱，理想為零）時的入射角即 i_B。原理是 i_B 處 p 分量反射率為零，反射光成完全 s 線偏振，檢偏器轉到與 s 垂直時即可把它擋掉。輔助判據：此時反射光與折射光互相垂直（i＋r＝90°），可用幾何關係複核；也可用玻璃片堆在透射側觀察偏振度增強作旁證。
誤把「折射光最弱」當判據的後果：
① 現象根本不出現：折射光在 i_B 處是部分偏振，其總強度並沒有極小值（p、s 都在，只是比例變了），旋轉檢偏器只會看到強弱週期性變化，找不到「消光」的唯一角，於是 i_B 無法定位；
② 若硬挑一個「較暗」位置，得到的角與 i_B 無關，代回 n＝tan i 會給出完全錯誤的折射率，且與 00323 最小偏向角法、斯涅爾直接測量都對不上——這正是用另一路獨立測量交叉核驗的價值；
③ 更根本的是搞反了物理機制：起偏發生在反射光（p 分量為零），不在折射光。判據錯，後面所有誤差分析都失去對象。
邊界註記：真實界面有表面膜、散射與入射光不完全自然等因素，消光通常不為絕對零，故取「最弱」而非「全暗」，並在報告裡寫明取的是極小位置；所有角度、折射率與讀數均為自編示意數據，不代表任何真實材料常數或測量結果。
答案 (1) n′=tan(57.30993°)≈1.5583，偏高約 +3.88%；因 dn/di=sec²i=1+tan²i=3.25 每弧度，1° 經正切放大成約 3.9%（線性近似 3.78%，一階近似與精確值之差來自二階項，如實登記）。(2) n₁ 偏 +1% → n₂′=1.5150，+1.00%（分子一次方）。(3) 以檢偏器找反射光最深消光（完全 s 偏振），並用 i+r=90° 複核；誤盯折射光則無消光極小、只有週期性強弱，i_B 無法定位且折射率全錯，還搞反了起偏發生在反射光的機制。
採分點 tan(57.30993°)≈1.5583 1 分；+3.88% 1 分；寫出 dn/di=sec²i=3.25 1 分；1°=0.0174533 rad 與 Δn≈0.05672 1 分；線性近似 3.78% 與二階項差登記 1 分；(2) n₂′=1.5150 與 +1.00% 1 分；對比線性 vs 正切放大 1 分；(3) 檢偏器找反射光消光 1 分；說明反射光完全 s 偏振 1 分；i+r=90° 輔助判據 1 分；指出折射光部分偏振、無消光極小 1 分；說明搞反機制與「最弱非全暗」的邊界 1 分。
易錯點 把 1° 直接當成 1/56≈1.8% 的線性誤差；用角度值（57.31）直接當 tan 值；把 n₁ 偏 1% 說成 n₂ 偏 −1%；把「折射光最弱」當判據；說折射光也能完全消光；要求消光必須絕對為零；漏掉左右兩側入射取平均的處置。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式/條件 | 玻璃例(n₂=1.500) | 結果 | 誤差/判據 | 備註 |
|---|---|---|---|---|---|
| 布儒斯特角 | tan i_B=n₂/n₁ | 1.500/1.000 | 56.30993° | arctan | — |
| 折射角 | r=90°−i_B | — | 33.69007° | 互餘 | 反射⊥折射 |
| 斯涅爾回驗 | n₂=n₁ sin i/sin r | 0.832050/0.554700 | 1.5000 | 獨立路 | — |
| 代數回驗 | sin=1.5/√3.25, cos=1/√3.25 | — | 0.832050/0.554700 | 第三路 | — |
| 反射光 | p 分量為零 | — | 完全 s 線偏振 | 可消光 | 找 i_B 判據 |
| 折射光 | p 佔優、s 不為零 | — | 部分偏振 | 無消光極小 | 片堆增強 |
| 水中入射 | tan i_B=1.500/1.333 | 1.12528 | ≈48.37° | n₁ 不可省 | 比值式 |
| i_B 偏 +1° | tan(57.30993°) | 1.5583 | +3.88% | sec²i=3.25 放大 | 線性近似 3.78% |
| n₁ 偏 +1% | n₂=n₁tan i_B | 1.010×1.5 | 1.5150（+1.00%） | 分子一次方 | — |
| 誤判據 | 折射光最弱 | — | 無極小、定位失敗 | 機制搞反 | 交叉核驗 |
| 邊界 | 消光取「最弱」 | — | — | 表面膜/散射 | 非絕對零 |
布儒斯特角這條線，落點是「先認清起偏發生在反射光，再看正切怎麼放大誤差」：i_B＋r＝90°、tan i_B＝n₂/n₁，玻璃例 56.30993° 可由斯涅爾 0.832050/0.554700＝1.5000 與三角恆等式兩路獨立回驗；反射光是完全 s 線偏振（檢偏器可找到最深消光），折射光只是部分偏振。誤差上，n＝tan i 的導數是 sec²i＝3.25，1° 的角度偏差被放大成約 3.9%，而 n₁ 偏 1% 只帶來 1%——看誤差先看函數形式。最後別把 n₁ 省掉：換成水中入射，比值變成 1.500/1.333，角就落到約 48.37°。本組角度、折射率與讀數均為自編示意數據，不代表任何真實材料常數或測量結果。
四、自測清單
- □ 先寫 i_B+r=90°，再由斯涅爾導出 tan i_B=n₂/n₁；
- □ 比值式裡 n₁ 不能省，換介質要重算；
- □ 用 sin i/sin r 與三角恆等式各回驗一次 n₂；
- □ 反射光完全 s 偏振、折射光部分偏振，別說反；
- □ 找 i_B 用反射光最深消光，不盯折射光；
- □ 誤差按 dn/di=sec²i 看非線性放大，不做線性估算；
- □ 精確值與線性近似一階近似與精確值之差來自二階項，如實登記；
- □ 消光取「最弱」而非絕對零，並左右兩側取平均。
