聯招數學·拋物線：焦點弦、準線距離與面積的定值

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先把符號定死：標準式 y²＝2px（p>0），焦點 F(p/2, 0)，準線 x＝−p/2。本文取 y²＝4x，即 2p＝4，p＝2，F(1,0)，準線 x＝−1。焦半徑由定義（到焦點＝到準線）得 |PF|＝x_P＋p/2＝x_P＋1。

過焦點弦的兩個常用結論：|AB|＝x₁＋x₂＋p；1/|AF|＋1/|BF|＝2/p（與斜率無關的定值）；傾斜角公式 |AB|＝2p/sin²α。下面題設方程與數值均為自編示意，非真題原文。

二、逐題精講

題1

題1 焦點弦聯立與四路回驗（解答題）

自編題設：拋物線 C：y²＝4x，過焦點 F(1,0) 作斜率為 1 的直線 l，交 C 於 A、B 兩點。
(1) 求 x₁＋x₂、x₁x₂、弦長 |AB|；(2) 求 1/|AF|＋1/|BF|，並說明它為什麼與斜率無關；(3) 求 △OAB 的面積（O 為原點）；(4) 用傾斜角公式獨立回驗 |AB|。

解析

(2) 1/|AF|＋1/|BF| ＝ 1/(x₁＋1) ＋ 1/(x₂＋1) ＝ (x₁＋x₂＋2)/[(x₁＋1)(x₂＋1)]。
分母 ＝ x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋1 ＝ 1＋6＋1 ＝ 8；分子 ＝ 8。故和為 8/8＝1。
而 2/p ＝ 2/2 ＝ 1 ✓。
為什麼與斜率無關：設過 F 的直線為 x＝my＋1（可表示所有非豎直焦點弦），代入 y²＝4x 得 y²−4my−4＝0，故 y₁y₂＝−4（與 m 無關）。又 |AF|＝x₁＋1＝y₁²/4＋1＝(y₁²＋4)/4，結合 y₁y₂＝−4 可化出 1/|AF|＋1/|BF|＝2/p 為常數；更直接地，用 x₁x₂＝1（由 (my+1)² 形式亦可驗 x₁x₂ 恆為 1）代入上式：分子 x₁+x₂+2、分母 x₁x₂+x₁+x₂+1 = 1+x₁+x₂+1 = x₁+x₂+2，恆等於 1。可見它只依賴 y²＝2px 的 p，不依賴直線斜率，這是拋物線的定值性質。豎直通徑（α＝90°）時 A(1,2)、B(1,−2)，|AF|＝|BF|＝2，1/2＋1/2＝1 ✓，也閉合。

(3) 因 F 在 x 軸上，△OAB 可拆成以 OF 為公共底的兩個三角形：
S ＝ ½·|OF|·|y₁| ＋ ½·|OF|·|y₂| ＝ ½·|OF|·|y₁−y₂|（A、B 分居 x 軸兩側）。
|OF|＝1；由 y＝x−1 得 y₁−y₂＝x₁−x₂＝√((x₁+x₂)²−4x₁x₂)＝√32＝4√2。
故 S＝½×1×4√2＝2√2 ≈ 2.828427。
座標回驗：解 x²−6x＋1＝0 得 x＝3±2√2，對應 y＝2±2√2（一正一負）。用行列式 S＝½|x_A y_B − x_B y_A| 代入亦得 2√2 ✓。

(4) 傾斜角 α＝45°（k＝1），公式 |AB|＝2p/sin²α ＝ 4 / sin²45° ＝ 4 / (1/2) ＝ 8 ✓，與 (1) 一致。
再取 α＝90°（通徑）：|AB|＝4/sin²90°＝4，即 2p＝4，與 A(1,2)、B(1,−2) 的距離 4 一致 ✓。取 α＝60°：|AB|＝4/(3/4)＝16/3 ≈ 5.333333，可作為另一獨立算例。四路閉合：焦半徑和、弦長公式、傾斜角公式、通徑特例。

答案　(1) x²−6x+1=0，x₁+x₂=6、x₁x₂=1，|AB|=8（√(1+k²)|x₁−x₂| 亦得 8）。(2) 1/|AF|+1/|BF|=1=2/p；因 x₁x₂ 恆為 1、y₁y₂=−4 與斜率無關，通徑特例 1/2+1/2=1 亦閉合。(3) S=2√2≈2.828427。(4) |AB|=4/sin²45°=8；α=90° 得 4（通徑）、α=60° 得 16/3。

採分點　聯立得 x²−6x+1=0 1 分；韋達 x₁+x₂=6、x₁x₂=1 各 1 分；焦半徑 |PF|=x+1 1 分；|AB|=8 1 分；用 √(1+k²)|x₁−x₂| 回驗 1 分；倒數和化簡得 1 1 分；說明 2/p 與斜率無關（y₁y₂=−4 或 x₁x₂=1）1 分；通徑特例回驗 1 分；S=2√2 1 分；傾斜角公式得 8 與 60° 得 16/3 1 分。

易錯點　把 y²=4x 的 p 寫成 4（應為 2p=4，p=2）；把焦點寫成 (2,0)；把 |AB| 寫成 x₁+x₂（漏 +p）；把 1/|AF|+1/|BF| 寫成 p/2；面積漏掉 A、B 分居兩側而用 |y₁|+|y₂| 時符號出錯；把傾斜角公式寫成 2p sin²α。

題2

題2 定值一般化與變式（解答題）

自編題設：把題 (1) 的直線改為任意過焦點 F 的直線（斜率存在時設為 x＝my＋1，m∈R），拋物線仍為 y²＝4x。
(1) 證明 y₁y₂＝−4 與 x₁x₂＝1 對任意 m 成立；(2) 由此證明 1/|AF|＋1/|BF| 恆為 1；(3) 求「以 AB 為直徑的圓與準線 x＝−1 的位置關係」，並說明結論是否也依賴 m。

解析

(2) 由焦半徑 |AF|＝x₁＋1、|BF|＝x₂＋1：
1/|AF|＋1/|BF| ＝ (x₁＋x₂＋2)/[(x₁＋1)(x₂＋1)] ＝ (x₁＋x₂＋2)/(x₁x₂＋x₁＋x₂＋1)。
代入 x₁x₂＝1，分母 ＝ 1＋x₁＋x₂＋1 ＝ x₁＋x₂＋2 ＝ 分子，故比值恆為 1，與 m 無關 ✓。亦即 2/p＝2/2＝1。
另一路回驗：取 m＝0（水平線 y＝±? 實際 x＝1 是豎直；m＝0 給 x＝1，即通徑），|AF|＝|BF|＝2 ⇒ 1/2＋1/2＝1 ✓；取 m＝1（即 x＝y＋1，與題1 的 y＝x−1 同線），已算得 1 ✓。兩個特例加一般式，三路閉合。

(3) 以 AB 為直徑的圓，圓心為 AB 中點 M((x₁＋x₂)/2, (y₁＋y₂)/2)＝(2m²＋1, 2m)（因 x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2＝4m²＋2，故中點橫座標 2m²＋1；y₁＋y₂＝4m，縱座標 2m）。
半徑 R＝|AB|/2＝(x₁＋x₂＋2)/2＝(4m²＋2＋2)/2＝2m²＋2。
圓心 M 到準線 x＝−1 的距離 d＝(2m²＋1) − (−1)＝2m²＋2。
故 d＝R，即以焦點弦 AB 為直徑的圓與準線相切，且切點為準線上與 M 同縱座標的點 (−1, 2m)。
是否依賴 m：結論（相切）不依賴 m，對任意過焦點弦都成立；但切點位置 (−1, 2m) 與圓的大小 R＝2m²＋2 隨 m 變。須把「關係」與「位置/尺寸」分開報，不能說「一切都不變」。
特例回驗：m＝0（通徑 x＝1，A(1,2)、B(1,−2)），M＝(1,0)，R＝2，d＝1−(−1)＝2 ⇒ 相切於 (−1,0) ✓；m＝1，M＝(3,2)，R＝4，d＝3−(−1)＝4 ⇒ 相切於 (−1,2) ✓，與題1 的 A、B 座標一致。

答案　(1) 聯立得 y²−4my−4=0，故 y₁y₂=−4、y₁+y₂=4m；x₁x₂=−4m²+4m²+1=1，均與 m 無關，通徑特例亦成立。(2) 代入 x₁x₂=1 使分母=分子，倒數和恆為 1=2/p。(3) M=(2m²+1, 2m)，R=2m²+2，到準線距離 d=2m²+2=R，故恆相切、切點 (−1, 2m)；相切關係不依賴 m，但切點與半徑隨 m 變。

採分點　寫出 y²−4my−4=0 1 分；y₁y₂=−4 與 y₁+y₂=4m 各 1 分；x₁x₂ 展式得 1 1 分；說明與 m 無關並補通徑特例 1 分；(2) 分式化簡併代入得恆 1 1 分；用 m=0 與 m=1 兩特例回驗 1 分；(3) 中點 M 座標 1 分；R=2m²+2 1 分；d=2m²+2=R 1 分；得出恆相切並給切點 1 分；區分「關係不變」與「位置尺寸隨 m 變」1 分。

易錯點　把 x=my+1 寫成 y=mx+1 導致豎直弦漏掉；把 y₁y₂ 算成 +4；x₁x₂ 展開漏掉交叉項 m(y₁+y₂)；把 R 寫成 |AB| 而忘除 2；把 d 算成 2m²（漏 +1 與 −(−1)）；說「圓與準線相切且一切都不隨 m 變」；漏掉切點座標。

三、規律小結與對照表

拋物線焦點弦這條線，落點是「一切從 x₁+x₂ 與 x₁x₂ 出發」：聯立得韋達，焦半徑給 |AB|＝x₁＋x₂＋p，倒數和化簡出 1/|AF|＋1/|BF|＝2/p 這個與斜率無關的定值，面積用 ½|OF|·|y₁−y₂|，傾斜角公式 2p/sin²α 再獨立驗一次。一般化時設 x＝my＋1 可涵蓋豎直通徑，得 y₁y₂＝−4、x₁x₂＝1 恆成立的漂亮結論；以 AB 為直徑的圓恆與準線相切，但要分清「相切關係不變」與「切點、半徑隨 m 變」。所有方程與數值均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。

四、自測清單

• □ 先由 y²=2px 定 p、F 與準線，別把 2p 當 p；
• □ 焦半徑用定義 |PF|=x+p/2，不憑印象；
• □ 聯立後先寫韋達兩式，再取需要的組合；
• □ 弦長別漏 +p，並用 √(1+k²)|x₁−x₂| 回驗；
• □ 倒數和化簡後與 2/p 對照，並取通徑特例驗；
• □ 面積拆分時確認 A、B 分居 x 軸兩側；
• □ 一般化用 x=my+1，補上豎直通徑特例；
• □ 「定值關係」與「位置/尺寸」分開報。