聯招物理·劈尖干涉測微小厚度：等厚條紋與半波損失

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

把一片平玻璃一端墊上細絲，兩玻璃間形成空氣劈尖，厚度 t 隨距稜邊的距離 x 線性增大：t＝x·θ（θ 為劈角，小角近似 θ≈d/L，d 為細絲直徑、L 為劈長）。反射光干涉與牛頓環同理，有一次半波損失，光程差 δ＝2t＋λ/2，故暗紋條件 2t＝kλ，稜邊 t＝0 處為暗紋。

相鄰暗紋的厚度差 Δt＝λ/2，對應水平間距 l＝Δt/θ＝λ/(2θ)；測出 l 即得 θ，再由 d＝θL 求細絲直徑。這裡有個必須寫明的計數約定：第 1 條到第 21 條暗紋之間是 20 個間隔，不是 19 個也不是 21 個。下面讀數與 λ 均為自編示意數據。

二、逐題精講

題1

題1 由條紋間距求細絲直徑與計數約定（解答題）

自編題設：鈉黃光 λ＝589.3 nm 垂直照射空氣劈尖，劈長 L＝50.0 mm。讀數顯微鏡測得第 1 條到第 21 條暗紋的總距離為 10.00 mm。
(1) 求條紋間距 l、劈角 θ 與細絲直徑 d（以 μm 表示）；(2) 若誤把這段距離當作 19 個間隔，求 d′ 及相對偏差；(3) 寫出相鄰暗紋的厚度差，並說明「第 1 條到第 21 條」為什麼是 20 個間隔。

解析

(2) 若按 19 個間隔：l′ ＝ 10.00/19 ＝ 0.526316 mm ⇒ θ′ ＝ λ/(2l′) ＝ 5.893×10⁻⁷/(1.052632×10⁻³) ＝ 5.5997×10⁻⁴ rad ⇒ d′ ＝ θ′L ＝ 5.5997×10⁻⁴×0.0500 ＝ 2.79985×10⁻⁵ m ＝ 28.00 μm。
相對偏差 ＝ (28.00 − 29.465)/29.465 ＝ −1.465/29.465 ＝ −4.97%。
另一路更簡潔：d ∝ θ ∝ 1/l ∝ 間隔數，故 d′/d ＝ 19/20 ＝ 0.95，即偏低 5%；精確按 19/20 算得 29.465×0.95＝27.99 μm，偏差 −5.00%。兩個數為何不同：按 l′＝10/19 精確重算 θ′ 時，λ/(2l′) 與「直接乘 19/20」應當是同一件事——核對：l′/l ＝ 20/19 ⇒ θ′/θ ＝ 19/20 ⇒ d′/d ＝ 19/20 ＝ 0.95，故 d′＝27.992 μm、偏差恰為 −5.00%。上面 28.00 μm 與 −4.97% 來自中間取位（θ′ 取 5.5997×10⁻⁴ 後四捨五入），按精確比例應為 −5.00%；正文取精確值，並把取位差如實登記，不抹平。
結論：間隔數少數一個，直徑就按同比例少 1/20。

(3) 相鄰暗紋厚度差 Δt ＝ λ/2 ＝ 589.3/2 ＝ 294.65 nm。
為什麼是 20 個間隔：暗紋按級次 k＝0,1,2,… 排列，「第 n 條」與「級次 k」差一個起點——第 1 條對應 k＝0（稜邊暗紋），第 21 條對應 k＝20，二者之間有 20 個級次差、即 20 個 Δt、20 個 l。一般地「第 m 條到第 n 條」含 n−m 個間隔，與植樹問題同理：數的是間隔，不是條紋條數。這與 00293 所講雙縫條紋計數、00161 所講累積放大法的計數約定是同一類口徑問題，必須寫明所用約定，否則 10.00 mm 除 20 還是除 19 就說不清。

答案　(1) l=0.5000 mm，θ=5.893×10⁻⁴ rad，d=29.465 μm（≈0.029465 mm）。(2) 按 19 間隔得 d′=27.99 μm，精確相對偏差 −5.00%（按取位中間值算為 28.00 μm、−4.97%，取位差如實登記）；因 d∝間隔數，19/20=0.95。(3) Δt=λ/2=294.65 nm；第1到第21條含 21−1=20 個間隔，數的是間隔不是條數。

採分點　間隔數 20 1 分；l=0.5000 mm 1 分；θ=5.893e−4 rad 1 分；d=29.465 μm 1 分；小角近似與量級回驗 1 分；反推 10.00 mm 閉合 1 分；(2) 指出 d∝間隔數得 19/20 1 分；d′≈27.99 μm 與 −5.00% 1 分；說明取位差並如實登記 1 分；(3) Δt=294.65 nm 1 分；用 k 級次解釋 20 個間隔 1 分。

易錯點　把 10.00 mm 除 21 或除 19 當默認；把 l=λ/(2θ) 寫成 l=λ/θ；把 θ≈d/L 的單位混用（mm 與 m 不統一）；把 −4.97% 與 −5.00% 混著報且不說明取位；把相鄰暗紋厚度差寫成 λ；說「稜邊是亮紋」；漏掉小角近似成立條件。

題2

題2 半波損失與測量誤差方向（解答題）

(1) 說明為什麼反射光劈尖的稜邊（t＝0）是暗紋；若改觀察透射光，稜邊與暗紋條件怎麼變？(2) 在題 (1) 的條件下，若條紋間距 l 偏大 1.00%（讀數偏大），d 偏多少？若波長 λ 偏大 1.00%，d 又偏多少？分別給數值與方向；(3) 若把劈長 L 也記偏 +1.00%，d 變多少？綜合說明三類量的傳導路徑。

解析

(2) 由 d ＝ θL ＝ λL/(2l)，可見 d ∝ λ / l（L 固定）。
l 偏大 1.00%：d → d/1.01 ＝ 0.990099 d。取 d＝29.465 μm 得 29.173 μm，相對偏差 −0.99%（偏低）。路徑：l 在分母一次方；注意 l 本身是「總距離 / 間隔數」，若總距離讀大或間隔數少數，都會經 l 傳到 d，故題 (1) 的計數約定其實就是 l 誤差的一個來源。
λ 偏大 1.00%：d → 1.01 d ＝ 29.760 μm，相對偏差 +1.00%（偏高）。路徑：λ 在分子一次方。
方向相反的原因很直白：λ 越大，同樣的 θ 給出的條紋越寬（l＝λ/2θ），若仍拿偏大的 λ 去除實測 l，就會把 θ 算大、d 算大；而 l 讀大意味著條紋「顯得更疏」，同樣的 λ 下 θ 被算小、d 被算小。

(3) L 偏大 1.00%：d ∝ L，故 d → 1.01 d ＝ 29.760 μm，+1.00%。
三類傳導路徑小結：λ 與 L 在分子（同向，+1%→+1%）；l 在分母（反向，+1%→−0.99%）；計數間隔數 n 通過 l＝S/n 進入，與 n 同向（少數一個間隔等價於 l 偏大 5%，d 偏 −5%）。
還可合併成一條總式：d ＝ λ L n /(2S)（S 為測得的總距離，n 為間隔數）。由此一眼看清四個量的指數都是一次方，只有 l 的倒數帶來反向；也看清「把 S＝10.00 mm 除 20 還是除 19」不是小數取捨，而是整份結果按 19/20 縮放。實驗中要壓誤差，優先做兩件事：數更多條紋取平均（增大 S 與 n，降低單條定位誤差）、核對光源波長與劈長的量具；這與 00365 牛頓環「多測幾組平方差」、00161 累積放大法是同一條思路。

答案　(1) 反射 δ=2t+λ/2，t=0 相消成暗紋；透射 δ=2t，稜邊為亮、暗紋 2t=(k+½)λ，與反射圖樣互補。(2) l 偏 +1% → d=29.173 μm（−0.99%）；λ 偏 +1% → d=29.760 μm（+1.00%）。(3) L 偏 +1% → d=29.760 μm（+1.00%）；總式 d=λLn/(2S)，λ 與 L 在分子、l 在分母、間隔數 n 與 d 同向。

採分點　寫出 δ=2t+λ/2 1 分；說明稜邊暗紋為半波損失判據 1 分；透射 δ=2t、稜邊亮、互補 1 分；指出與牛頓環同屬等厚干涉 1 分；l 偏大得 −0.99% 與 29.173 μm 1 分；λ 偏大得 +1.00% 與 29.760 μm 1 分；說明兩者方向相反的物理原因 1 分；L 偏大得 +1.00% 1 分；寫出總式 d=λLn/(2S) 1 分；給出數更多條紋與核對量具的處置 1 分。

易錯點　把半波損失算在上表面；說透射光稜邊也是暗紋；把 l 偏 1% 答成 d 偏 +1%；把 λ 偏 1% 答成 d 偏 −1%；漏掉 L 也是分子；把總式寫成 d=λL/(2S) 而丟掉 n；不說明計數約定與 l 誤差是同一來源。

三、規律小結與對照表

劈尖這條線，落點是「數的是間隔，不是條紋」：第 1 條到第 21 條暗紋只有 20 個間隔，按 19 個算，直徑就整份縮到 19/20（−5.00%）。公式鏈很短：Δt＝λ/2 → l＝λ/(2θ) → d＝θL＝λLn/(2S)；從這裡一眼看出 λ 與 L 在分子、l 在分母、間隔數 n 與 d 同向。半波損失讓反射稜邊成暗紋，透射則成亮、圖樣互補，用公式前先確認觀察的是反射光。本組 λ、條紋間距、劈長與細絲直徑均為自編示意數據，不代表任何真實光源波長、器件參數或測量結果。

四、自測清單

• □ 先寫明觀察的是反射光還是透射光，確定 δ 含不含 λ/2；
• □ 「第 m 到第 n 條」按 n−m 數間隔，不按條數；
• □ 單位統一：nm→m、mm→m，θ 保持弧度；
• □ 用 θ≈d/L 前確認小角近似成立並報量級；
• □ 把 d 寫成 λLn/(2S) 總式，逐項看指數與方向；
• □ 中間取位造成的偏差（−4.97% vs −5.00%）如實登記；
• □ 最後用 d 反推 l 與 S，與題給讀數閉合。