題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
這一組題的題眼是「把和拆成半和半差」。四個公式先擺齊：
sinA＋sinB ＝ 2 sin((A＋B)/2) cos((A−B)/2)； cosA＋cosB ＝ 2 cos((A＋B)/2) cos((A−B)/2)；
sinA·sinB ＝ −½[cos(A＋B) − cos(A−B)] ＝ ½[cos(A−B) − cos(A＋B)]； a sinθ＋b cosθ ＝ √(a²＋b²) sin(θ＋φ)，tanφ ＝ b/a。
操作順序：兩式相除消掉 cos((A−B)/2) 得半和；兩式平方相加消掉半和得半差的餘弦；回到 A、B 後用原式代回驗一次，再用積化和差獨立算乘積驗第二次。下面題設數據為自編示意，非真題原文。
二、逐題精講
題1
題1 由兩式和反解 A、B 並回代（解答題）
自編題設：已知 0 < A < B < π，且
sin A ＋ sin B ＝ 3/2， cos A ＋ cos B ＝ √3/2。
(1) 求 (A＋B)/2 與 (B−A)/2，進而求 A、B；(2) 用積化和差求 sinA·sinB，並與由 A、B 直接相乘的結果互驗；(3) 求 cos(A−B) 與 cos(A＋B)。
解析
(1) 記 u＝(A＋B)/2，v＝(B−A)/2（由 0<A<B<π 得 0<v<π/2，故 cos v > 0）。和差化積：2 sin u cos v ＝ 3/2 ……① 2 cos u cos v ＝ √3/2 ……②
①÷②：tan u ＝ (3/2)/(√3/2) ＝ √3。又 0<A+B<2π ⇒ 0<u<π，tan u＝√3 給 u＝π/3（另一解 4π/3 不在 (0,π) 內）。
①²＋②²：4 cos²v (sin²u＋cos²u) ＝ (3/2)²＋(√3/2)² ＝ 9/4＋3/4 ＝ 3 ⇒ cos²v ＝ 3/4。因 cos v>0，取 cos v＝√3/2，v＝π/6。
於是 A＋B＝2u＝2π/3，B−A＝2v＝π/3，解得 B＝π/2，A＝π/6。
原式回驗：sin(π/6)＋sin(π/2)＝1/2＋1＝3/2 ✓；cos(π/6)＋cos(π/2)＝√3/2＋0＝√3/2 ✓。範圍 0<π/6<π/2<π 亦滿足。
(2) 積化和差：sinA·sinB ＝ ½[cos(A−B) − cos(A＋B)]。代入 A−B＝−π/3、A＋B＝2π/3：
＝ ½[cos(−π/3) − cos(2π/3)] ＝ ½[1/2 − (−1/2)] ＝ ½·1 ＝ 1/2。
直接相乘回驗：sin(π/6)·sin(π/2) ＝ (1/2)·1 ＝ 1/2 ✓。兩條路子閉合。
(3) cos(A−B) ＝ cos(−π/3) ＝ 1/2；cos(A＋B) ＝ cos(2π/3) ＝ −1/2。可再作一次獨立校驗：由韋達式 (sinA＋sinB)²＋(cosA＋cosB)² ＝ 2＋2cos(A−B) ⇒ 3 ＝ 2＋2cos(A−B) ⇒ cos(A−B)＝1/2 ✓，與 (1) 的結果一致。
答案 (1) u=(A+B)/2=π/3，v=(B−A)/2=π/6，A=π/6，B=π/2；(2) sinA·sinB=1/2，積化和差與直接相乘一致；(3) cos(A−B)=1/2，cos(A+B)=−1/2。
採分點 寫出和差化積兩式各 1 分；①÷②得 tan u=√3 1 分；定 u=π/3 並說明舍 4π/3 1 分；平方相加得 cos²v=3/4 1 分；由 0<v<π/2 取正根 v=π/6 1 分；解出 A=π/6、B=π/2 1 分；代回原式雙驗 1 分；積化和差得 1/2 1 分；用 2+2cos(A−B) 獨立回驗 1 分。
易錯點 相除時忽略 cos v 可能為 0（本題由範圍排除，須寫明）；平方相加後取 cos v=−√3/2；把 u 取成 4π/3；把「B−A=π/3」寫成「A−B=π/3」導致 B 求反；積化和差符號寫反成 −1/2；忘記代回原式檢驗。
題2
題2 輔助角公式與連乘恆等式（解答題）
(1) 設 f(x) ＝ √3 sin 2x ＋ cos 2x。求其振幅、最小正週期、最大值，並求 f(x)＝1 在 [0, π] 上解的個數（端點計入）。(2) 用 sin2θ＝2sinθcosθ 的連乘推導 cos20°·cos40°·cos80° 的值，並說明為什麼中途不能把 sin20° 約掉之前就取近似。
解析
(1) 振幅 √( (√3)²＋1² ) ＝ 2；tanφ ＝ 1/√3 ⇒ φ＝π/6，故f(x) ＝ 2 sin(2x ＋ π/6)。
最小正週期 T ＝ 2π/2 ＝ π；最大值 2（當 2x＋π/6＝π/2＋2kπ，即 x＝π/6＋kπ）。
解 f(x)＝1：2 sin(2x＋π/6)＝1 ⇒ sin(2x＋π/6)＝1/2 ⇒
2x＋π/6 ＝ π/6＋2kπ ⇒ x＝kπ；或 2x＋π/6 ＝ 5π/6＋2kπ ⇒ 2x＝2π/3＋2kπ ⇒ x＝π/3＋kπ。
在 [0, π] 上：第一族給 x＝0、π；第二族給 x＝π/3。共 3 個解：0、π/3、π。
回代驗：f(0)＝cos0＝1 ✓；f(π/3)＝√3 sin(2π/3)＋cos(2π/3)＝√3·(√3/2)＋(−1/2)＝3/2−1/2＝1 ✓；f(π)＝cos2π＝1 ✓；另取 x＝π/12，f＝2 sin(π/3)＝√3≈1.7320508，與振幅 2 相容。
(2) 令 P＝cos20°cos40°cos80°。分子分母同乘 8 sin20°（sin20°≠0）：
8 sin20°·P ＝ 8 sin20°cos20°cos40°cos80°
＝ 4·(2 sin20°cos20°)·cos40°cos80° ＝ 4 sin40°cos40°cos80°
＝ 2·(2 sin40°cos40°)·cos80° ＝ 2 sin80°cos80° ＝ sin160°。
而 sin160° ＝ sin(180°−20°) ＝ sin20°，故 8 sin20°·P ＝ sin20° ⇒ P＝1/8＝0.125。
為什麼不能提前取近似：這條推導的全部力量來自「連乘恰好 telescoping 到 sin160°，而 sin160° 與 sin20° 精確相等」。若中途把 sin20°≈0.342、cos20°≈0.940 等代成小數，誤差會沿三次乘法累積，最後得到的是 0.1249… 一類的近似數，「正好等於 1/8」這個恆等關係就丟了，而且無法說明它為什麼是有理數。恆等式題要保留符號到最後一步再代值，這與 00304 所講「角的配湊先於求值」是同一條紀律。
答案 (1) f(x)=2sin(2x+π/6)，振幅 2、週期 π、最大值 2；f(x)=1 在 [0,π] 上有 3 解：0、π/3、π。(2) cos20°cos40°cos80°=1/8，由連乘化為 sin160°=sin20° 精確相消得到，不可中途取近似。
採分點 振幅 2 與 φ=π/6 各 1 分；週期 π 1 分；最大值 2 1 分；解出兩族 x=kπ 與 x=π/3+kπ 各 1 分；[0,π] 上 3 解（含端點）1 分；三解回代驗 1 分；連乘鏈式每步 1 分共 2 分；sin160°=sin20° 相消得 1/8 1 分；說明提前近似會丟失恆等關係 1 分。
易錯點 輔助角寫成 2sin(2x−π/6)；忘記 2x 使週期算成 2π；解 f(x)=1 時漏掉 x=0 與 x=π 兩個端點；把 π/3+kπ 寫成 π/6+kπ；連乘時漏掉補的 8 sin20°；把 sin160° 當成一個需要查表的數而沒看出它等於 sin20°。
三、規律小結與對照表
| 工具 | 公式 | 本題落點 | 數值結果 | 獨立回驗 | 常見誤判 |
|---|---|---|---|---|---|
| 和差化積·正弦 | sinA+sinB=2sin u cos v | ① 式 | 3/2 | 代回 sinπ/6+sinπ/2 | 把和拆成「各自一半」 |
| 和差化積·餘弦 | cosA+cosB=2cos u cos v | ② 式 | √3/2 | 代回 cosπ/6+cosπ/2 | 漏掉同一個 cos v |
| 相除消元 | tan u=(3/2)/(√3/2) | u=π/3 | √3 | 捨去 4π/3 | 取 4π/3 或 −π/3 |
| 平方相加 | 4cos²v=3 | v=π/6 | cos v=√3/2 | 2+2cos(A−B)=3 | 取負根 |
| 積化和差 | ½[cos(A−B)−cos(A+B)] | sinA sinB | 1/2 | 直接相乘 (1/2)·1 | 符號寫反 |
| 輔助角 | √(a²+b²)sin(θ+φ) | 2sin(2x+π/6) | 振幅 2、T=π | f(π/12)=√3 | 週期算成 2π |
| 解個數 | sin(2x+π/6)=1/2 | x=0, π/3, π | 3 個 | 三解分別回代 | 漏端點 |
| 連乘恆等式 | 8sin20°·P=sin160° | P | 1/8 | sin160°=sin20° | 中途取近似 |
這一組題其實只做了一件事：同一個結論用三條互不依賴的路子算出來。和差化積給 A、B，積化和差給乘積，直接相乘再驗一次；輔助角給振幅與週期，三解回代再驗一次；連乘恆等式靠 sin160°＝sin20° 精確相消，所以中途絕不能換成小數。四個易錯位記牢：相除前確認 cos v≠0、平方相加後由範圍取正根、2x 的週期是 π 不是 2π、區間端點要計入解。本題所有數值與角度均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。
四、自測清單
- □ 先把兩式和寫成「半和×半差」再相除/平方相加；
- □ 相除前寫明 cos v≠0 的理由；
- □ 由 0<v<π/2 取 cos v 的正根，不取負根；
- □ 解出角後代回兩個原式各驗一次；
- □ 積化和差的符號單獨核對一次；
- □ 輔助角題看清 ω=2，週期取 2π/ω；
- □ 區間解把端點單獨代入檢查；
- □ 恆等式題保留符號到最後一步再代值。
