聯招物理·示波器測交流信號：峰峰值、有效值與週期法

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

示波器屏幕給的是格數，要乘檔位才是量值：
Vpp = 豎直格數 × 垂直靈敏度(V/格)；T = 水平一週期格數 × 時基(s/格)。

正弦波三個電壓量別混：Vpp = 2Vp，Vrms = Vp/√2 = Vpp/(2√2)；頻率 f = 1/T。注意 Vrms = Vp/√2 只對正弦波成立。下面讀數為自編示意，不代表真實器件參數或測量結果。

二、逐題精講

題1

題1 讀格換算與正弦波四個量

自編讀數：屏上正弦波在豎直方向峰到峰佔 8.00 格，垂直靈敏度 1.00 V/格；一個完整週期在水平方向佔 4.00 格，時基 0.500 ms/格。

(1) 求 Vpp、Vp、Vrms。(2) 求 T 與 f。(3) 用 Vpp 與 f 回代，說明三個電壓量為什麼不能互相替代。

解析

(2) 水平換算：
T = 4.00 × 0.500 ms = 2.00 ms = 2.00×10⁻³ s；
f = 1/T = 1/(2.00×10⁻³) = 500 Hz。

(3) 回代與辨析：由 Vp = 4.00 V 反推 Vpp = 8.00 V ✓；由 f = 500 Hz 反推 T = 2.00 ms，再乘時基回推格數 = 2.00/0.500 = 4.00 格 ✓；由 Vrms = 2.828 V 反推 Vp = 2.828×√2 = 4.00 V ✓，三條閉合。
不能互相替代的理由：三者對應不同的物理定義——Vpp 是波形最大到最小的全擺幅（讀屏直接得到，用於看動態範圍），Vp 是相對零點的單側峰值（用於算器件耐壓），Vrms 是與直流發熱等效的有效值（用於算功率 P = Vrms²/R）。正弦波下三者由固定比例相連，但數值相差 2 倍與 2√2 倍；把 Vpp 當 Vrms 去算功率會差 8 倍（功率比 (8.00/2.828)² = 8）。
邊界提醒：Vrms = Vp/√2 只對正弦波成立；方波、三角波、含諧波的波形須按有效值定義 Vrms = √[(1/T)∫v²(t)dt] 另算，或用真有效值表，不能套這個係數，正文註明。

答案　(1) Vpp=8.00 V、Vp=4.00 V、Vrms=2.828 V。(2) T=2.00 ms、f=500 Hz。(3) 三式回代閉合；Vpp 是全擺幅、Vp 是單側峰值、Vrms 是發熱等效值，正弦下相差 2 與 2√2 倍，混用算功率可差 8 倍；Vrms=Vp/√2 僅對正弦成立。

採分點　Vpp=8.00 V 1 分；Vp=4.00 V 1 分；Vrms=2.828 V 1 分；用 Vpp/(2√2) 互驗 1 分；T=2.00 ms 1 分；f=500 Hz 1 分；三條回代閉合 1 分；說明三者定義不同並給出非正弦邊界 1 分。

易錯點　把 8.00 V 直接當 Vp；把 Vrms 算成 8.00/√2=5.657 V；把時基 0.500 ms/格 當成 0.500 s；用 f=1/(4.00格) 漏乘時基；對方波也套 Vp/√2。

題2

題2 單位誤讀、時基記偏與李薩如圖形法

(1) 若把 Vpp = 8.00 V 誤當作 Vp，Vrms 會被算成多少？偏大多少？(2) 若把時基誤記為 0.250 ms/格（真實 0.500 ms/格），f 會被算成多少？說明誤差方向。(3) 用李薩如圖形法：把待測信號接 Y 軸、標準信號 f₀ = 500 Hz 接 X 軸，穩定圖形與水平切線交點數 Nₓ = 2、與垂直切線交點數 Nᵧ = 3，求待測頻率 fᵧ，並寫明所依據的關係式。

解析

(2) 時基記小：T′ = 4.00 × 0.250 ms = 1.00 ms；f′ = 1/1.00×10⁻³ = 1000 Hz。
偏大 +100%：f = 1/(格數×時基) 與時基成反比，時基記小一半 → 頻率翻倍。與 (1) 合看：一個把電壓偏大 2 倍、一個把頻率偏大 2 倍，都是漏除 2 或記錯檔位造成的比例因子誤差，不能靠多次測量相消，只能靠核對檔位讀數修正（參 00341、00347 的同類登記）。

(3) 李薩如圖形：兩軸頻率比與切點數的關係為
fᵧ / fₓ = Nₓ / Nᵧ（待測接 Y、標準接 X；與水平切線的交點數 Nₓ 對應X 方向頻率的份數，與垂直切線的交點數 Nᵧ 對應 Y 方向份數，二者互為倒數比）。
代入 fₓ = f₀ = 500 Hz、Nₓ = 2、Nᵧ = 3：
fᵧ = 500 × 2/3 = 333.3 Hz（約 333 Hz）。
回驗：頻率比 fₓ : fᵧ = 500 : 333.3 = 3 : 2 = Nᵧ : Nₓ ✓ 與圖形切點數一致。
易混點登記：關係式常有人寫成 fᵧ/fₓ = Nᵧ/Nₓ（得 750 Hz），那是把切點所屬軸對調了。判據記牢：水平切線數 → X 軸頻率份數，故 fₓ : fᵧ = Nₓ : Nᵧ 的倒數要擺對；本題按「圖形與水平線最多交點數 ∝ fₓ」的約定取 fᵧ/fₓ = Nₓ/Nᵧ，正文已註明切點計數約定，換約定時結果隨之改變，須先寫明再算。

答案　(1) 誤得 Vrms=5.657 V，偏大 2 倍（功率偏大 4 倍）。(2) 時基 0.250 ms/格 得 f=1000 Hz，因 f 與時基成反比而偏大 +100%；屬比例因子誤差，須核對檔位。(3) 按 fᵧ/fₓ=Nₓ/Nᵧ 得 fᵧ=500×2/3≈333.3 Hz，回驗 3:2 ✓；並登記「水平切線數對應 X 軸頻率份數」的計數約定及另一約定會得 750 Hz 的易混點。

採分點　誤算 5.657 V 1 分；判偏大 2 倍 1 分；T′=1.00 ms 與 f′=1000 Hz 1 分；說明 f∝1/時基 1 分；寫出李薩斯關係式 1 分；fᵧ≈333.3 Hz 1 分；回驗 3:2 1 分；登記計數約定與 750 Hz 易混點 1 分。

易錯點　把 Vpp→Vp 的除以 2 漏掉還自稱「峰值」；(2) 說成時基記小頻率偏小；把李薩如關係式寫成 Nᵧ/Nₓ 且不登記約定；忽略「穩定圖形」前提（頻率比須為簡單有理數）；把 333 Hz 與題1 的 500 Hz 混為同一信號。

三、規律小結與對照表

示波器題先把格數乘檔位變成量值：Vpp = 豎直格 × V/格、T = 一週期水平格 × 時基。正弦波三個電壓量記牢：Vpp = 2Vp、Vrms = Vp/√2 = Vpp/(2√2)，本題 8.00 / 4.00 / 2.828 V 各差一檔；把 Vpp 當 Vp 會使 Vrms 偏大 2 倍、功率偏大 4 倍。時基記小則 f 翻倍（f 與時基成反比），與 00347、00341 一樣屬比例因子誤差，靠核對檔位而非多次測量。李薩如圖形按 fᵧ/fₓ = Nₓ/Nᵧ 得約 333 Hz，切點計數約定必須先寫明，軸一對調就會得 750 Hz。最後一條邊界：Vrms = Vp/√2 只對正弦波成立。電壓、時基、格數與頻率均為自編示意數據，不代表任何真實器件參數或測量結果。

四、自測清單

• □ 先把格數乘垂直靈敏度/時基換成實際量值；
• □ 區分 Vpp、Vp、Vrms，別把全擺幅當單側峰值；
• □ 用 Vpp/(2√2) 與 Vp/√2 兩式互驗；
• □ 頻率用 f=1/T，判誤差先看時基在分母；
• □ 李薩如法先寫明切點計數約定再代公式；
• □ 非正弦波形不套 Vp/√2，改用有效值定義。