題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
三型先分清楚。錯排：n 個元素全部不在原位，D_n ＝ n!·Σ_{k=0}^{n} (−1)^k/k!，也可遞推 D_n ＝ (n−1)(D_{n−1}＋D_{n−2})（D₁＝0，D₂＝1）。圓排列：n 人圍圓桌，旋轉重合算同一種，故 (n−1)!；若指定兩人相鄰，先捆成一塊再圓排，塊內還要乘 2!。隔板法：x₁+…+x_k＝n 的正整數解數 C(n−1, k−1)；非負整數解數 C(n+k−1, k−1)（添 k 個「虛擬球」或預扣 1 轉化）；若要求 x_i ≥ 2，先令 y_i＝x_i−2 再套非負公式。
操作順序：先判型（有沒有「都不在原位」／「圍成一圈」／「和為定值」）→ 再選公式並寫清變形 → 最後用小數值或另一條公式獨立回驗。下面題設數據為自編示意，非真題原文。
二、逐題精講
題1
題1 錯排與圓排列（解答題）
自編題設：(1) 四封寫好的信隨機裝入四個對應信封，求全部裝錯的方式數；並用容斥公式與遞推公式兩條路子分別算出 D₄、D₅。
(2) 六人圍一張圓桌就座，求：① 不加限制的方案數；② 其中甲、乙必須相鄰的方案數；③ 若改為「甲、乙不相鄰」，用①減②是否成立？說明理由。
解析
(1) 容斥路：D_n ＝ n! Σ_{k=0}^n (−1)^k/k!。D₄ ＝ 24(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24) ＝ 24 × 0.375 ＝ 9；
D₅ ＝ 120(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24 − 1/120) ＝ 120 × (44/120) ＝ 44。
遞推路：D₁＝0，D₂＝1；D₃＝2(D₂＋D₁)＝2(1＋0)＝2；D₄＝3(D₃＋D₂)＝3(2＋1)＝9；D₅＝4(D₄＋D₃)＝4(9＋2)＝44。兩路一致 ✓。
故四封信全裝錯為 9 種。第三路小數值回驗：全排列 24 種裡，恰 4 對 ＝1 種、恰 1 對 ＝ C(4,1)·D₃ ＝ 4×2 ＝ 8 種、恰 2 對 ＝ C(4,2)·D₂ ＝ 6×1 ＝ 6 種、恰 3 對不可能（餘 1 個必也對，故歸入 4 對）＝ 0 種，全錯 ＝ 24 − 1 − 8 − 6 − 0 ＝ 9 ✓。這也順帶說明「全排列減一」是錯的：裝錯不是隻排除「全對」一種，還要排除恰好 1 對、恰好 2 對的全部情形。
(2) ① 六人圓排列 ＝ (6−1)! ＝ 5! ＝ 120 種。
② 甲乙相鄰：把甲乙捆成一塊，與其餘 4 人共 5 個對象圍圓桌 → (5−1)! ＝ 4! ＝ 24；塊內甲乙可互換 2! ＝ 2。故 24×2＝48 種。
回驗比例：48/120 ＝ 0.4；也可直接算「圓桌上指定一人，另一人坐其左或右 2 個位置，共 5 個可選位置」→ 2/5 ＝ 0.4 ✓。
③ 成立：相鄰與不相鄰是互補事件，且都在同一個圓排列樣本空間裡，故不相鄰 ＝ 120 − 48 ＝ 72 種。但要寫明前提：這裡「相鄰」指圓桌上左右相鄰（含首尾相接的那一對位置），捆綁法之所以有效，正因為圓排列裡沒有線排列的「兩端」——若換成排成一排，捆綁後是 5!×2! 而總數是 6!，比例變成 240/720＝1/3，不再是 2/5。「①−②」成立的依據是樣本空間沒變，不是互補事件在任何排列型裡都同比例。
答案 (1) D₄=9、D₅=44（容斥與遞推兩路一致），四信全錯 9 種；第三路按「恰1對 8、恰2對 6、全對 1」從 24 中扣除亦得 9。(2) ① 120；② 48（捆綁為5對象圓排4!×2!）；③ 成立，不相鄰 72 種，但須寫明互補事件在同一圓排列樣本空間內。
採分點 寫出容斥公式並算 D₄=9 1 分；算 D₅=44 1 分；寫出遞推並給出 D₃=2 1 分；遞推得 D₄、D₅ 與容斥一致 1 分；第三路按對數扣除得 9 1 分；指出「全排列減一」錯在漏排恰好 1 對/2 對 1 分；① (6−1)!=120 1 分；② 捆綁 5 對象得 4!×2!=48 1 分；用 2/5 比例回驗 1 分；③ 72 種並說明樣本空間前提及線排列比例不同 1 分。
易錯點 把錯排算成 4!−1=23；遞推時把 D₃ 算成 3 或 6；圓排列寫成 6!；捆綁後仍按 6 個對象圓排；忘記塊內 2!；把「不相鄰」用線排列的 1/3 比例去套；說「互補事件相減在任何排列裡都對」而不說明樣本空間。
題2
題2 隔板法四類變體（解答題）
自編題設：求方程 x₁＋x₂＋x₃＝10 的下列解數：
① 正整數解（x_i ≥ 1）；② 非負整數解（x_i ≥ 0）；③ x_i ≥ 2 的整數解；④ 從 4 種物品中可重複地取 7 個的組合數。
請分別給出公式與數值，並用變量替換說明 ①與②、②與③之間的轉化關係；最後用枚舉或對稱性對 ① 作一次獨立回驗。
解析
① 正整數解：10 個相同球排成一列，9 個間隙插入 2 塊隔板分成 3 份，每份至少 1 → C(9,2)＝36。② 非負整數解：允許為 0，用添球法——先給每個變量各借 1 個，令 y_i＝x_i＋1 ≥ 1，則 y₁+y₂+y₃＝13，正整數解數 C(12,2)＝66；等價寫法即 C(n+k−1, k−1)＝C(10+3−1,2)＝C(12,2)＝66。
③ x_i ≥ 2：令 y_i＝x_i−2 ≥ 0，則 y₁+y₂+y₃＝10−6＝4，非負整數解數 C(4+3−1,2)＝C(6,2)＝15。
④ 可重組合：從 4 種取 7 個、每種不限量，等價於「4 個變量非負、和為 7」→ C(7+4−1, 4−1)＝C(10,3)＝120。
轉化關係（變量替換）：
①→②：y_i＝x_i＋1 把「≥0」抬成「≥1」，方程右端由 10 變 13，故 C(9,2)→C(12,2)；反過來 ②→① 是 x_i＝y_i−1，右端減 3。注意不能只改公式不改右端——這是最典型的錯。
②→③：y_i＝x_i−2 把「≥2」降成「≥0」，右端減 3×2＝6 得 4，故套非負公式 C(4+2,2)＝C(6,2)＝15；也可寫成「先每人預分 2 個，剩 4 個自由分」。
④ 與 ② 同構：可重組合就是「k 種物品各取幾個、總數固定」的非負整數解，只是把 k 從 3 換成 4、n 從 10 換成 7，公式形式完全一致。
① 的獨立回驗（按 x₁ 枚舉）：固定 x₁＝1..8（因另兩個至少各 1，x₁≤8），對應 x₂+x₃＝9,8,7,6,5,4,3,2，正整數解數依次為 8,7,6,5,4,3,2,1，和為 8+7+6+5+4+3+2+1＝36 ✓。
再用對稱性回驗 ② 的結構：非負解 66 裡，恰有三個變量都 ≥1 的就是 ① 的 36；恰有一個為 0：C(3,1)×C(9,1)？按「選哪個為 0（3 種），其餘兩個正整數和為 10」＝ 3×9 ＝ 27；恰有兩個為 0：C(3,2)×1 ＝ 3；合計 36＋27＋3 ＝ 66 ✓。兩條獨立路子都與公式閉合。
答案 ① C(9,2)=36；② C(12,2)=66；③ C(6,2)=15；④ C(10,3)=120。轉化：①→② 用 y_i=x_i+1（右端 10→13）；②→③ 用 y_i=x_i−2（右端 10→4）；④ 與②同構，只是 k=4、n=7。① 按 x₁ 枚舉 8+7+…+1=36 回驗；② 分解為 36+27+3=66 回驗。
採分點 ① C(9,2)=36 1 分；② C(12,2)=66 1 分；③ C(6,2)=15 1 分；④ C(10,3)=120 1 分；寫出 y_i=x_i+1 且右端改 13 1 分；寫出 y_i=x_i−2 且右端改 4 1 分；指出④與②同構 1 分；按 x₁ 枚舉得 36 1 分；把 66 分解為 36+27+3 回驗 1 分；強調「改公式必須同步改右端」1 分。
易錯點 非負解直接套 C(9,2)；x_i≥2 時只減 2 而不減 3×2；把可重組合寫成 C(7,4) 或 P(10,3)；變量替換隻換公式不改右端；把「恰好一個為 0」算成 3×8；把圓排列與隔板法的「相同/不同元素」混答。
三、規律小結與對照表
| 型 | 識別信號 | 公式 | 本題數值 | 轉化 | 獨立回驗 |
|---|---|---|---|---|---|
| 錯排 | 全部不在原位 | D_n=n!Σ(−1)^k/k! | D₄=9, D₅=44 | 遞推 D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2}) | 24−1−8−6=9 |
| 錯排·遞推 | — | D₁=0,D₂=1 | D₃=2 | 逐層代入 | 與容斥一致 |
| 圓排列 | 圍圓桌、旋轉重合 | (n−1)! | 5!=120 | 固定一人消旋轉 | 指定另一人 2/5 相鄰 |
| 圓排·相鄰 | 兩人必須相鄰 | (5−1)!×2! | 24×2=48 | 捆成一塊 | 48/120=0.4 |
| 圓排·不相鄰 | 互補事件 | 120−48 | 72 | 樣本空間不變 | 同一圓排空間內 |
| 隔板·正整數 | x_i≥1, 和為10 | C(n−1,k−1) | C(9,2)=36 | y_i=x_i+1 → C(12,2) | 按 x₁ 枚舉和 36 |
| 隔板·非負 | x_i≥0 | C(n+k−1,k−1) | C(12,2)=66 | 預借 3 個 | 36+27+3=66 |
| 隔板·下界 | x_i≥2 | y_i=x_i−2, 右端減6 | C(6,2)=15 | 先每人預分 2 | 剩 4 自由分 |
| 可重組合 | 4種取7個不限量 | C(n+k−1,k−1) | C(10,3)=120 | 與非負解同構 | 換 k=4,n=7 |
這一組題的分水嶺是先判型：見「都不在原位」想錯排（容斥 / 遞推 / 按對數扣除三路可互驗），見「圍成一圈」想 (n−1)! 與捆綁，見「和為定值」想隔板並數清下界。三處最易錯：把錯排當 4!−1（漏了恰好 1 對、恰好 2 對）、把圓排列當 6!（沒消旋轉）、變量替換時只改公式不改右端（①→② 右端 10→13，②→③ 右端 10→4）。凡是公式題，都值得再走一條枚舉或對稱性回驗——本題 36 與 66 都各自閉合了兩次。所有人數、信封數與取數均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。
四、自測清單
- □ 先按「都不在原位／圍成一圈／和為定值」判定型；
- □ 錯排至少走容斥與遞推兩條路，再按對數扣除驗一次；
- □ 圓排列先固定一人消旋轉，捆綁後記得乘塊內 2!；
- □ 相減之前確認互補事件處於同一圓排列樣本空間；
- □ 隔板法先寫下界：≥1 用 C(n−1,k−1)，≥0 用 C(n+k−1,k−1)；
- □ 變量替換必須同步改右端（≥2 要減 k×2）；
- □ 可重組合認成「k 個非負變量和為 n」；
- □ 最後用枚舉或對稱性把 36、66 各回驗一次。
