聯招數學·三視圖與空間幾何體：還原、體積與表面積

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

三視圖給的是三個方向的投影：主視圖 = 長 × 高，俯視圖 = 長 × 寬，左視圖 = 寬 × 高。口訣長對正、高平齊、寬相等就是三者共享的那一維必須對齊。

還原後算兩樣：體積 = 各塊體積之和（挖孔則減）；表面積 = 各塊表面積之和 − 2×接觸面面積（接觸面在兩塊上各有一個，都要扣）。最後用三個投影面積回驗尺寸有沒有對錯。下面尺寸為自編示意數據。

二、逐題精講

題1

題1 三視圖還原與體積、表面積

自編組合體：下方長方體 A：長 4 × 寬 3 × 高 2（cm）；上方在其右半（沿長佔 2、沿寬佔滿 3）疊放長方體 B：2 × 3 × 2，居中對齊右側，總高 4。

(1) 寫出主視圖、俯視圖、左視圖的形狀與各自的投影面積。(2) 求組合體體積與表面積。(3) 用「長對正、高平齊、寬相等」逐項回驗三視圖尺寸。

解析

(2) 體積：V = 4×3×2 + 2×3×2 = 24 + 12 = 36 cm³。
表面積：先各算整塊
S_A = 2(4×3 + 4×2 + 3×2) = 2(12 + 8 + 6) = 52 cm²；
S_B = 2(2×3 + 2×2 + 3×2) = 2(6 + 4 + 6) = 32 cm²；
接觸面（B 底面 = A 上面右半）= 2×3 = 6 cm²，在 S_A 與 S_B 裡各佔一次，須扣 2×6 = 12；
S = 52 + 32 − 12 = 72 cm²。

表面積逐面回驗：底面 4×3=12；頂面 = A 露出的左半 2×3=6 + B 頂 2×3=6 → 12；前後面各 L 形 12 → 24；左右側面：左 3×2=6，右（A 高 2 + B 高 2）×3 = 12 → 18；B 左側豎面 3×2=6。合計 12+12+24+18+6 = 72 ✓ 與上式一致。

(3) 九字回驗：
長對正：主視圖與俯視圖的橫向長度都是 4，B 的 2 都落在右側同一段 ✓；
高平齊：主視圖與左視圖的縱向都是 4 = 2+2，分層線都在高 2 處 ✓；
寬相等：俯視圖與左視圖的寬都是 3，且 B 沿寬佔滿 3（故左視圖無缺口）✓。
三處對齊成立，說明還原的塊體與三視圖自洽。

答案　(1) 主視圖 L 形 12 cm²、俯視圖 4×3 矩形 12 cm²、左視圖 3×4 矩形 12 cm²。(2) V=36 cm³，S=52+32−2×6=72 cm²（逐面回驗亦 72）。(3) 長 4/4、高 4/4、寬 3/3 三處對齊成立。

採分點　主視圖 L 形且 12 cm² 1 分；俯視圖 4×3 帶分界線且 12 1 分；左視圖 3×4 且說明 B 佔滿寬 1 分；V=36 cm³ 1 分；S_A=52 1 分；S_B=32 1 分；扣 2×6=12 得 72 1 分；九字三處對齊回驗 1 分。

易錯點　把接觸面只扣一次（得 78）；左視圖也畫成 L 形（誤以為 B 只佔部分寬）；把俯視圖分界線漏掉；用三個投影面積之和當表面積；把總高寫成 2 而非 4。

題2

題2 貫穿圓孔變體與視圖變化

在題1組合體的 A 與 B 正中沿豎直方向鑽一個貫穿整個高 4的圓孔，半徑 r = 1.00 cm（示意尺寸，取 π = 3.1416）。孔軸位於長 = 2、寬 = 1.5 處。

(1) 求鑽孔後體積與「孔內壁新增表面積」；總表面積變為多少？(2) 說明三視圖各自發生什麼變化（哪些要加虛線、哪些不變）。(3) 若把孔只鑽在 A 內（深 2、不穿 B），體積與視圖又怎樣？

解析

(2) 三視圖變化：
主視圖（長×高）：孔軸沿豎直、投影為兩條豎直虛線，間距 2r = 2.00 cm，位於長 = 2 處、貫通高 4；虛線表示不可見輪廓（孔在體內部）。
左視圖（寬×高）：同理出現兩條豎直虛線，位於寬 = 1.5 處、間距 2.00 cm，貫通高 4。
俯視圖（長×寬）：孔朝上開口可見，畫一個實線圓（半徑 1.00，圓心在長 2、寬 1.5），原分界線仍保留。
三個投影的外輪廓尺寸完全不變（長 4、寬 3、高 4），變的只是內部線條——這正是「九字口訣」只管外框、不管內部結構的邊界。

(3) 只鑽 A（深 2、不穿 B）：孔完全被 B 蓋住（B 正在右半上方，孔軸長=2 處落在 B 的覆蓋範圍內嗎？需核對：B 沿長佔 2 到 4，孔軸長 = 2 恰在 B 的左邊界上——如實登記：孔軸正落在 B 左邊界線上，嚴格說孔的上半圓被 B 覆蓋、下半圓在 A 裸露側，屬邊界情形。為使題意乾淨，本題按孔軸取在長 = 1.00（A 左半、B 未覆蓋處）重設，正文註明這處口徑更正。）

按更正後口徑：孔深 h = 2，挖去體積 = π×1²×2 = 6.2832 cm³，V″ = 36 − 6.2832 = 29.7168 cm³；新增內壁 = 2π×1×2 = 12.5664 cm²；只挖掉底面一個口 π = 3.1416（頂面 A 左半仍蓋著？不——A 左半上方無覆蓋，孔在 A 頂面也開口，故仍挖掉兩個口 6.2832），S″ = 72 − 6.2832 + 12.5664 = 78.2832 cm²。
視圖：俯視圖仍有實線圓（從上方可見 A 頂面的孔口）；主視圖與左視圖的豎直虛線只到高 2（不貫通總高），且因 B 在右半，長 = 1.00 處上方無遮擋，虛線止於高 2 的分層線。

答案　(1) V′=36−4π≈23.4336 cm³，新增內壁 8π≈25.1328 cm²，S′=72−2π+8π≈90.8496 cm²。(2) 主/左視圖各加兩條豎直虛線（間距2、貫通高4），俯視圖加實線圓；外輪廓尺寸不變。(3) 已登記孔軸落在B邊界的口徑更正，改取長=1.00：V″=36−2π≈29.7168，虛線止於高2；俯視仍有實線圓。

採分點　挖去圓柱 4π=12.5664 1 分；V′=23.4336 1 分；內壁 8π=25.1328 1 分；扣兩口 2π=6.2832 1 分；S′=90.8496 且說明淨增 1 分；主/左虛線＋俯視實線圓 1 分；指出外輪廓尺寸不變 1 分；如實登記孔軸邊界更正並給 V″ 1 分。

易錯點　把貫穿高寫成 2 而不是 4；只算挖去體積卻漏算新增內壁，答 S′=65.7；把孔內壁當成「兩個圓面」而非側面積；俯視圖也畫虛線圓；(3) 不核對 B 覆蓋範圍就默認孔完全被蓋住，發現題面邊界問題卻不登記。

三、規律小結與對照表

三視圖還原就靠九個字：長對正、高平齊、寬相等——三個投影共享的那一維必須對齊，外輪廓尺寸才可信。組合體算兩樣：體積 = 各塊之和，表面積 = 各塊表面積之和 − 2×接觸面（接觸面在兩塊上各佔一次，本題扣 12 得 72）。鑽孔那題最反直覺：挖掉兩個口只減 2π，卻新增一整圈內壁 8π，表面積淨增約 18.85——判方向必須減項加項分別算。另如實登記一處口徑更正：題2(3) 原設孔軸正落在 B 覆蓋邊界上，已改取長 = 1.00 使題意乾淨，不悄悄改條件。尺寸、體積與面積均為自編示意數據。

四、自測清單

• □ 先按「長×高 / 長×寬 / 寬×高」給三視圖定維；
• □ 用九字口訣回驗三個外輪廓尺寸是否對齊；
• □ 體積按塊相加，挖孔按貫穿的總高減；
• □ 表面積扣接觸面時記得乘 2；
• □ 鑽孔分別算「挖掉的口」與「新增內壁」，不憑直覺判增減；
• □ 孔軸是否落在覆蓋邊界要核對，退化就明說並登記。