聯招數學·球與多面體：外接球、截面圓與球面距離

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

球類題先把三個量分清楚：R（球半徑）、d（球心到截面的距離）、r（截面圓半徑），三者恆滿足 r²＝R²−d²。而球面距離是大圓弧長 s＝R·θ（θ 為兩點對應的球心角，弧度），不是弦長 2R sin(θ/2)，更不是直線段。

球心角由向量點積定：cosθ ＝ (A·B)/R²（A、B 為從球心出發的兩向量）。下面取稜長 a＝2 的正方體，頂點為 (±1,±1,±1)，球心在原點。題設數值為自編示意，非真題原文。

二、逐題精講

題1

題1 外接球、截面圓與球體積（解答題）

自編題設：正方體稜長 a＝2，頂點座標取 (±1, ±1, ±1)，中心在原點 O。
(1) 求其外接球半徑 R；(2) 求球心到任一表面的距離 d、該面截球所得截面圓半徑 r 與截面圓周長；(3) 求外接球體積，並用體對角線與正四面體共球兩路獨立回驗 R。

解析

(2) 正方體表面如 x＝1，球心 O(0,0,0) 到該平面的距離 d＝1（＝a/2）。
r ＝ √(R² − d²) ＝ √(3 − 1) ＝ √2 ≈ 1.414214。
截面圓周長 ＝ 2πr ＝ 2√2 π ≈ 8.885766。
幾何回驗：平面 x＝1 上滿足 y²＋z²＝R²−1＝2 的點構成圓；取該面上正方形的四個頂點 (1,±1,±1)，其到 (1,0,0) 的距離 √(1+1)＝√2，恰落在 r＝√2 的圓上 ✓——即外接球被面截出的圓正好過該面的四個頂點，這與「正方體八個頂點共球」一致。

(3) 球體積 V ＝ (4/3)πR³ ＝ (4/3)π(√3)³ ＝ (4/3)π·3√3 ＝ 4√3 π ≈ 21.765592。
回驗路一（體對角線）：正方體體對角線長 ＝ √3·a ＝ 2√3 ≈ 3.464102，外接球直徑 ＝ 2R ＝ 2√3 ✓，故 R＝√3 閉合。
回驗路二（正四面體共球）：取正方體四個互不相鄰的頂點 (1,1,1)、(1,−1,−1)、(−1,1,−1)、(−1,−1,1)，任兩點距離 ＝ √[(0)²+(2)²+(2)²] ＝ 2√2（即面對角線），構成稜長 e＝2√2 的正四面體。正四面體外接球半徑公式 R＝e√6/4 ＝ 2√2×√6/4 ＝ 2√12/4 ＝ 4√3/4 ＝ √3 ✓，與正方體外接球同一個球。
第三路：直接用 R²＝3 反推 V＝(4/3)π·3√3＝4√3π ✓。三路閉合：體對角線、正四面體公式、體積反推。

答案　(1) R=√3≈1.732051（=√3a/2）。(2) d=1、r=√2≈1.414214、截面圓周長 2√2π≈8.885766；該面四頂點恰落在 r=√2 的圓上。(3) V=4√3π≈21.765592；體對角線 2√3=2R 與正四面體 R=e√6/4=√3 兩路回驗一致。

採分點　R=√3 1 分；公式 √3a/2 回驗 1 分；d=1 1 分；r=√2 1 分；截面圓周長 2√2π 1 分；面四頂點落在圓上的幾何回驗 1 分；V=4√3π 1 分；體對角線 2√3=2R 1 分；四面體稜長 2√2 1 分；R=e√6/4=√3 共球回驗 1 分。

易錯點　把 R 寫成 a/2=1 或 √3a=2√3（混淆半徑與直徑）；把截面圓半徑寫成 R−d=0.732；把球心到面距離寫成 √3；把球面距離當弦長；把正四面體稜長寫成 2；把球體積寫成 (4/3)πR²。

題2

題2 球面距離與弦長之辨（解答題）

自編題設：接題 (1)，取正方體相鄰兩頂點 A＝(1,1,1)、B＝(1,1,−1)（共一條稜）。
(1) 求球心角 θ（弧度）與 A、B 間的球面距離 s；(2) 求弦長 |AB|，並與 s 比較，說明二者為何不等；(3) 若把 A、B 換成體對角兩點 (1,1,1) 與 (−1,−1,−1)，θ 與 s 各是多少？用大半圓回驗。

解析

(2) 弦長 |AB| ＝ √[(1−1)²+(1−1)²+(1−(−1))²] ＝ 2（正方體稜長）。
用弦長公式回驗：2R sin(θ/2) ＝ 2√3 sin(0.6154795) ＝ 2×1.732051×0.577350 ＝ 2 ✓（這裡 sin(θ/2)＝√((1−cosθ)/2)＝√(1/3)＝0.577350）。
比較與不相等的理由：s＝2.132084 > |AB|＝2，差約 0.1321。球面距離是沿球面的大圓弧長（彎曲路徑），弦長是穿過球內的直線段；兩點間直線最短，故弧長恒大於弦長（θ∈(0,π) 時 Rθ > 2R sin(θ/2)，因 θ > 2 sin(θ/2)）。二者只在 θ→0 時趨近相等。判據：題目問「球面距離／沿球面」用 s＝Rθ；問「兩點間距離／弦長」用直線距離或 2R sin(θ/2)，不能混。
第三路數值回驗：小角展開 s/|AB| ＝ θ/(2 sin(θ/2)) ＝ 1.230959/1.154701 ＝ 1.066042，與 2.132084/2＝1.066042 ✓ 一致。

(3) 體對角兩點 A＝(1,1,1)、C＝(−1,−1,−1)：
A·C ＝ −1−1−1 ＝ −3，R²＝3 ⇒ cosθ＝−3/3＝−1 ⇒ θ＝π（兩點關於球心對稱，是對徑點）。
s ＝ R·π ＝ √3 π ≈ 5.441398。
弦長 |AC| ＝ 2R ＝ 2√3 ≈ 3.464102（體對角線）✓；用弦長公式 2R sin(π/2)＝2√3 ✓。
大半圓回驗：對徑點間的大圓是半圓，弧長 ＝ 半周長 ＝ πR ＝ √3π ✓；而球的大圓周長 ＝ 2πR ＝ 2√3π，其一半正是 √3π ✓。
邊界口徑：對徑點之間的大圓弧不唯一（過兩點的平面有無窮多個，每個給出一條半圓），但弧長都等於 πR，故球面距離仍有唯一值；這與 00376 所講「極點表示不唯一」、00340 所講「邊界測度」同類：路徑可多，量值唯一。另外 θ 必須用弧度代入 s＝Rθ，若用 180° 直接乘會得 311.8 這類錯值。

答案　(1) A·B=1、cosθ=1/3、θ=arccos(1/3)≈1.230959 rad，s=√3θ≈2.132084。(2) 弦長 |AB|=2（亦由 2R sin(θ/2)=2 回驗）；s>|AB|，因球面距離是大圓弧長、弦長是球內直線，θ>2sin(θ/2)；比值 θ/(2sin(θ/2))≈1.066042 閉合。(3) 對徑點 cosθ=−1、θ=π、s=√3π≈5.441398；弦長 2√3，大半圓弧長=πR=√3π 回驗；對徑大圓不唯一但弧長唯一，θ 須用弧度。

採分點　A·B=1 1 分；cosθ=1/3 1 分；θ≈1.230959 rad 1 分；s≈2.132084 1 分；用 △OAB 餘弦定理得 |AB|=2 回驗 1 分；弦長公式 2R sin(θ/2)=2 1 分；說明弧長>弦長及 Rθ>2Rsin(θ/2) 1 分；比值 1.066042 回驗 1 分；(3) cosθ=−1 與 θ=π 1 分；s=√3π≈5.441398 1 分；大半圓 πR 回驗 1 分；說明對徑大圓不唯一但弧長唯一、θ 用弧度 1 分。

易錯點　把球面距離寫成弦長 2；用角度 70.5288 直接乘 R；把 cosθ 寫成 1/√3；把對徑點 θ 寫成 π/2；把 s 寫成 2πR（整圓周長）；漏掉「對徑大圓不唯一但弧長唯一」的口徑；把截面圓半徑與球半徑混用。

三、規律小結與對照表

球體這條線，落點是「三個半徑分開、球面距離不是弦長」：R＝√3a/2、d＝a/2、r＝√(R²−d²) 恆滿足勾股關係；正方體八個頂點共球，且其中四個互不相鄰頂點構成的正四面體共用同一個球（R＝e√6/4＝√3）。球心角由 cosθ＝A·B/R² 定，球面距離 s＝Rθ（θ 用弧度），與弦長 2R sin(θ/2) 不是一回事——本例 s≈2.132 大於稜長 2，對徑點則 θ＝π、s＝√3π 恰為大半圓。最後留一條口徑：對徑點間大圓不唯一，但弧長唯一。所有稜長與數值均為自編示意題設，不代表任何真題原文或官方數據。

四、自測清單

• □ 先分 R（球半徑）、d（球心到截面）、r（截面圓）三個量；
• □ 用 r²=R²−d² 驗一次，別寫成 r=R−d；
• □ 外接球用體對角線 2R 回驗，並試正四面體共球；
• □ 球心角由 cosθ=A·B/R² 定，不由弦長反推；
• □ s=Rθ 中 θ 必須用弧度；
• □ 弦長用 2R sin(θ/2)，與球面距離分開報；
• □ 對徑點取 θ=π、s=πR，用大半圓回驗；
• □ 遇到「不唯一」先分清是路徑不唯一還是量值不唯一。