聯招數學·分組分配：均勻分組要除以 3!，分給人再乘回來

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先分清兩個問法：「分成 3 堆，堆與堆沒有編號」＝分組；「分給甲、乙、丙 3 人（或 3 個不同班級）」＝分配。分配 ＝ 分組 ×（組數的階乘）。

最容易漏的是均勻分組去重：6 人分成 3 組、每組 2 人，若直接算 C(6,2)C(4,2)C(2,2)=15×6×1=90，其實把同一分組按「先取哪一組」重複算了 3!=6 次，正確是 90/6=15。組大小不同時（如 1/2/3）各堆天然可區分，不除。下面題設均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 四口徑核算（計算＋簡答）

自編題設：6 名互不相同的志願者。
(1) 分成 3 組、每組 2 人，組不編號，有多少種？寫出為什麼除以 3!。
(2) 分給 甲、乙、丙 3 人，每人 2 人，有多少種？與 (1) 差在哪一步。
(3) 分成 1 人、2 人、3 人三堆（堆不編號），有多少種？為什麼這裡不除階乘；若再分配給 3 個不同班級呢？
(4) 換成 6 本完全相同的書，分給 3 人、每人至少 1 本，有多少種？說明與 (2) 的本質差別。

解析

(2) 分配給甲、乙、丙：在 (1) 的 15 種分組基礎上，把 3 組指派給 3 個不同的人，有 3! = 6 種指派，故 15×6 = 90 種。
等價直算：C(6,2)C(4,2)C(2,2)=90（此時「先給甲、再給乙、再給丙」天然帶編號，不除）。差別就在是否除 3!：(1) 除掉組間順序，(2) 又把它按編號乘回來，兩數正好回到 90。回驗：90/6=15，15×6=90，閉合。

(3) 非均勻分組 1/2/3（不編號）：
C(6,1)·C(5,2)·C(3,3) = 6×10×1 = 60 種。
不除階乘的理由：三堆大小分別是 1、2、3，堆與堆天然可區分（「1 人那堆」「3 人那堆」各有唯一身份），連乘時不存在「相同堆互換」造成的重複，故不用除 3!。
再分配給 3 個不同班級：60 × 3! = 360 種（此時還要把三堆指派給三個有編號的班級）。對照：均勻分組 15→分配 90（×6）；非均勻 60→分配 360（×6），乘的都是 3!，只是前一步除不除不同。

(4) 6 本相同書分 3 人、每人至少 1 本：書完全相同，只數「每人幾本」，是正整數解 x₁+x₂+x₃=6（xᵢ≥1）的個數，用隔板法：
在 6 本書之間的 5 個空隙裡插 2 塊板，C(5,2) = 10 種。
本質差別：(2) 的 6 人互不相同，要選「哪兩個人」給誰，是組合/排列問題；(4) 的 6 本書不可區分，只數數量分配，是方程整數解問題。回驗：枚舉正整數解 (1,1,4) 型 3 種、(1,2,3) 型 6 種、(2,2,2) 型 1 種，合計 3+6+1=10 ✅ 與 C(5,2) 一致。變式：若允許有人得 0 本（非負整數解），則 C(6+3−1, 3−1)=C(8,2)=28 種。

答案　(1) 15 種（90/3!）。(2) 90 種＝15×3!，差別在是否除組間順序。(3) 60 種（不除，組大小不同天然可區分）；分配給 3 班為 360 種。(4) C(5,2)=10 種（相同元素用隔板法），與(2) 的本質差別是「元素是否可區分」；允許 0 本為 C(8,2)=28。

採分點　(1) 連乘 90 1 分；除 3! 得 15 1 分；說明重複來自組間順序 1 分；(2) 90 與 ×3! 1 分；直算不除 1 分；90/6=15 閉合 1 分；(3) 60 1 分；不除階乘理由 1 分；360 1 分；(4) C(5,2)=10 1 分；隔板法正整數解 1 分；元素可區分性差別 1 分；枚舉 3+6+1=10 1 分；非負變式 28 1 分。

易錯點　均勻分組漏除 3!；把 (2) 也除以 6；非均勻分組也除 3! 得 10；把 6 本相同書按 C(6,2)C(4,2) 算成 90；隔板法用 C(6,2)=15（那是允許 0 本的另一變式混用）；把「組內順序」與「組間順序」混為一談。

題2

題2 部分均勻、指定歸屬與「至少一個」變式

(1) 自編變式：6 人分成 2 人、2 人、2 人三堆，但其中一堆明確指定給甲、另兩堆不編號，有多少種？寫出除的是幾的階乘。
(2) 6 本不同的書分給 3 人，甲至少 1 本、乙至少 1 本、丙可以 0 本，有多少種？用「總數減去違規」做，並回代核驗。
(3) 歸納：什麼時候除階乘、除幾的階乘、什麼時候再乘回來？給出「分組→分配」的一般式。

解析

(2) 總數減違規：6 本不同書分給 3 人，每本有 3 種去處，總數 3⁶ = 729。
違規：甲得 0 本 → 每本只能去乙/丙，2⁶ = 64；乙得 0 本 → 同樣 64；甲、乙都得 0 本（全給丙）→ 1⁶ = 1，被前兩項重複減了一次，要加回。
由容斥：729 − 64 − 64 + 1 = 602 種。
回代核驗（按丙得幾本枚舉）：丙得 k 本（k=0…5，甲乙至少各 1），從 6 本選 k 本給丙 C(6,k)，餘 6−k 本分給甲乙且都至少 1 本：2^(6−k) − 2（減去全給甲、全給乙兩種）。
k=0: 1×(64−2)=62；k=1: 6×(32−2)=180；k=2: 15×(16−2)=210；k=3: 20×(8−2)=120；k=4: 15×(4−2)=30；k=5: 6×(2−2)=0（餘 1 本無法讓甲乙都≥1）；k=6: 1×(1−2) 無意義，記 0。
合計 62+180+210+120+30 = 602 ✅ 與容斥一致。注意丙可以 0 本，所以 k=0 項要保留；若題目改成「三人都至少 1 本」，則再減「丙 0 本且甲乙各≥1」的情形，數值另算。

(3) 歸納：
· 除階乘：當且僅當出現若干個「人數相同且都無編號」的組；設有 r 個這樣的同尺寸無編號組，就除 r!，不是總組數的階乘（如 (1) 只除 2!）。組大小互不相同、或某堆已被指定，都不除。
· 乘回來：把「無編號分組」指派給 m 個不同對象時乘 m!（均勻 15→90、非均勻 60→360 都是 ×3!）。
· 一般式：先按各堆尺寸連乘組合數 → 對每組「同尺寸無編號堆」除 r! → 若要分配給 m 個有編號對象再乘 m!；若元素完全相同，改走隔板法/整數解，不用組合連乘。
· 「至少一個」：不同元素用容斥（總數 − 違規 + 交集），相同元素用預分配/隔板（先每人發 1 本再分剩餘）。
一條核驗：「分組數 × 組數階乘 = 分配數」恆成立（本題 15×6=90、60×6=360、45 對應的全編號版 45×2!=90 亦閉合）。

答案　(1) C(6,2)·[C(4,2)C(2,2)/2!]=15×3=45 種，除的是 2!（僅兩個無編號同尺寸堆）。(2) 3⁶−2·2⁶+1=602 種，按丙得 k 本枚舉 62+180+210+120+30=602 閉合。(3) 一般式：連乘組合 → 對同尺寸無編號堆除 r! → 分配給 m 個編號對象再乘 m!；相同元素走隔板法，「至少一個」用容斥或預分配。

採分點　(1) 選甲 15 1 分；餘 4 人分兩堆得 3 1 分；45 1 分；除 2! 不是 3! 1 分；(2) 總數 729 1 分；兩違規各 64 與加回 1 1 分；602 1 分；枚舉各項與閉合 2 分；(3) 除 r! 規則 1 分；乘 m! 規則 1 分；一般式 1 分；相同元素/至少一個口徑 1 分；核驗恆等式 1 分。

易錯點　部分均勻題除 3! 得 15；把甲那堆也當無編號；(2) 漏加回「甲乙都得 0」的 1；(2) 把丙 0 本的 k=0 項刪掉；(2) 用 C(6,2)C(4,2) 當總數；把「至少一個」的相同元素與不同元素口徑混用；一般式裡把 r! 寫成總組數階乘。

三、規律小結與對照表

分組分配只記一句：「同尺寸且都無編號的堆才除階乘，有幾堆除幾的階乘；要分給 m 個有編號對象再乘 m!」。6 人均分 3 堆是 90/3!=15，分給甲乙丙是 15×3!=90；1/2/3 非均勻是 60（不除），再分配 360；部分均勻（一堆指定甲）只除 2! 得 45。元素完全相同改走隔板法（6 同書每人≥1 得 C(5,2)=10），不同元素的「至少一個」走容斥（3⁶−2·2⁶+1=602，枚舉閉合）。題設與數值均為自編示意，不代表任何真題或題庫題目。

四、自測清單

• □ 先問「堆有沒有編號」，再問「要不要分給人」；
• □ 只除同尺寸且都無編號的那幾堆的 r!；
• □ 分配到 m 個不同對象時乘 m!，不重複除；
• □ 元素完全相同走隔板法/整數解，不連乘組合；
• □ 「至少一個」按元素可區分性選容斥或預分配；
• □ 用「分組數×m! = 分配數」回驗。