題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
二項式兩類問題別混：求某一項用通項 T(r+1)=C(6,r)·2^r·x^r（本題 a=1，1 的冪恆為 1）；求「所有係數之和」用賦值法，把 x 代成 1 或 −1，不需要逐項展開。
本篇以 (1+2x)⁶ 為例，指定項與係數和全部按公式現算。
二、逐題精講
題1
題1 求 (1+2x)⁶ 展開式中 x³ 與 x⁴ 的係數。
解析
通項 T(r+1)=C(6,r)·(2x)^r = C(6,r)·2^r·x^r，因 a=1，1 的冪恆為 1。
r=3：C(6,3)=20，2³=8，係數 = 20×8 = 160。r=4：C(6,4)=15，2⁴=16，係數 = 15×16 = 240。
回代核驗：把 x=1 代入得總和 3⁶ = 729；逐項係數 C(6,r)2^r 之和 = 1+12+60+160+240+192+64 = 729，與賦值法一致，說明通項沒漏項。
答案 x³ 係數 160；x⁴ 係數 240
採分點 通項式 2 分；兩項係數各 2 分；逐項和回代 1 分
易錯點 把 (2x)^r 只寫 2 不寫 2^r；忘記 a=1 時 1 的冪恆為 1；r 從 1 起數錯項
題2
題2 設 (1+2x)⁶ = a₀+a₁x+…+a₆x⁶。用賦值法求 (1) 全部係數和；(2) 偶次項係數和 a₀+a₂+a₄+a₆；(3) 奇次項係數和。
解析
(1) 令 x=1：a₀+a₁+…+a₆ = (1+2)⁶ = 3⁶ = 729。
(2) 令 x=−1：a₀−a₁+a₂−a₃+a₄−a₅+a₆ = (1−2)⁶ = (−1)⁶ = 1。兩式相加除以 2：偶次項和 = (729+1)/2 = 365.0。
(3) 兩式相減除以 2：奇次項和 = (729−1)/2 = 364.0。
回代核驗：365.0+364.0 = 729 閉合；偶次項逐算 C(6,0)+C(6,2)4+C(6,4)16+C(6,6)64 = 1+60+240+64 = 365.0，與賦值法一致。
答案 總和 729；偶次項和 365.0；奇次項和 364.0
採分點 x=1 賦值 2 分；x=−1 賦值 2 分；加減拆偶奇 2 分；逐項回代 1 分
易錯點 把 (−1)⁶ 算成 −1；把偶次項和寫成 729/2；忘記除以 2
三、規律小結與對照表
| 求什麼 | 方法 | 公式 | 易錯 |
|---|---|---|---|
| 指定項 | 通項 | C(6,r)2^r | 漏 2^r |
| 全部和 | x=1 | 3^6 | 逐項硬加 |
| 奇偶拆分 | x=−1 再加減 | (A+B)/2 | 忘除 2 |
| 偶次逐算 | 偶數 r 求和 | 1+60+240+64 | 與賦值結果不比對 |
小結：通項管單項，賦值管整體。x³ 係數 160、x⁴ 係數 240；總和 729、偶次 365.0、奇次 364.0，365.0+364.0 閉合。
四、自測清單
- 能寫出 (1+2x)⁶ 的通項
- 能求 x³ 與 x⁴ 係數
- 能用 x=1 求全部係數和
- 能用 x=−1 拆奇偶次項
- 能逐項回代驗偶次項
- 能說明兩式相加減後須除以 2
