題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩類求和長得不像，方法也不能互換：通項是分式且分母能拆成相鄰兩因式之積，用裂項相消；通項是「等差 × 等比」，用錯位相減。選錯方法不是算得慢，是根本消不掉。
本篇兩題分別取 n=9 的裂項與 n=5 的差比數列，結果均按公式現算並與逐項展開互驗。
二、逐題精講
題1
題1 求 S = 1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(9*(9+1))，即前 9 項和。
解析
拆項：1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。
展開後中間全部抵消：S = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/9 − 1/(9+1)) = 1 − 1/(9+1) = 9/(9+1) = 0.9。
回代核驗：逐項數值 0.5+0.166667+0.083333+0.05+0.033333+0.023810+0.017857+0.013889+0.011111 = 0.9，與 0.9 一致。
答案 S = 9/(9+1) = 0.9
採分點 拆項式 2 分；相消過程 2 分；結果 1 分；逐項回代 2 分
易錯點 把 1/(k(k+1)) 拆成 1/k + 1/(k+1)；相消後漏掉末項
題2
題2 求 T = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + 4×2⁴ + 5×2⁵，並給出 n 項一般式。
解析
設 T = Σ(k·2^k)，k=1..5。兩邊乘公比 2：2T = Σ(k·2^(k+1))。
相減：2T − T = −2 − 2² − 2³ − 2⁴ − 2⁵ + 5·2⁶ = −(2⁶−2) + 5·2⁶ = 4·2⁶ + 2 = 258。
一般式：T(n) = Σ(k·2^k) = (n−1)·2^(n+1) + 2。代入 n=5 得 (5−1)·2⁶+2 = 258。
回代核驗：逐項 2+8+24+64+160 = 258，與閉式 258 相等，閉合。
答案 T = 258；一般式 T(n) = (n−1)·2^(n+1) + 2
採分點 乘公比錯位 2 分；相減推導 2 分；一般式 2 分；逐項回代 1 分
易錯點 相減時把首項符號寫反；一般式寫成 n·2^(n+1)+2；漏掉末尾補的 +2
三、規律小結與對照表
| 通項形狀 | 方法 | 閉式 | 回代 |
|---|---|---|---|
| 分式可拆 | 裂項相消 | n/(n+1) | 逐項求和 |
| 等差×等比 | 錯位相減 | (n−1)2^(n+1)+2 | 逐項求和 |
| 中間項 | 全部抵消 | 只剩首末 | — |
| 公比乘後 | 末項進位 | 補 +2 | — |
小結：分式看能不能拆成相鄰兩項之差，差比看能不能乘公比錯位。裂項得 0.9，錯位得 258，兩式都經逐項展開驗過。
四、自測清單
- 能寫出 1/(k(k+1)) 的拆項式
- 能說明中間項為何全消
- 能對差比數列乘公比後錯位相減
- 能寫出一般式 (n−1)2^(n+1)+2
- 能用逐項展開回代兩個結果
- 能說明兩類方法不可互換
