題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
複數條件 |z−z₀|=r 在複平面上就是一個圓：圓心 z₀、半徑 r。|z| 是點到原點的距離，最大最小一定落在原點與圓心的連線上，分別是 |z₀|+r 與 |z₀|−r（前提是原點在圓外）。
本篇取 z₀=3+4i、r=1，所有最值與乘積模均按公式現算，不用背結論。
二、逐題精講
題1
題1 設複數 z 滿足 |z−(3+4i)| = 1。求 |z| 的最大值與最小值，並說明取到最值時 z 在哪裡。
解析
圓心 z₀=3+4i，|z₀| = √(3²+4²) = 5，半徑 r=1，原點在圓外（5 > 1）。
|z|max = 5+1 = 6，|z|min = 5−1 = 4。
取最值點在原點與圓心連線上：最大點 z = z₀ + (r/|z₀|)z₀ = (1+1/5)(3+4i) = 3.6+4.8i，其模 √(3.6²+4.8²) = 6；最小點 (1−1/5)(3+4i) = 2.4+3.2i，模 4。兩路回代與幾何結論一致。
答案 |z|max=6（點 3.6+4.8i），|z|min=4（點 2.4+3.2i）
採分點 圓心與 |z₀| 2 分；最值公式 2 分；取點座標 2 分；雙路回代 1 分
易錯點 把 |z₀| 算成 3+4=7；最值寫成 |z₀|±2r；忘記原點在圓外這一前提
題2
題2 設 z₁=1+i、z₂=2−i。用兩種方法求 |z₁z₂| 並互驗。
解析
法一（模的乘法）：|z₁|=√2，|z₂|=√5，故 |z₁z₂| = √2·√5 = √10 = 3.1623。
法二（先乘再取模）：z₁z₂ = (1+i)(2−i) = 2 − i + 2i − i² = 3 + i，|3+i| = √(3²+1²) = √10 = 3.1623。
回代核驗：兩法同為 3.1623；若把 (1+i)(2−i) 誤展成 1+3i，會得到 √10 之外的 3.1623，與法一不符即可報警——這正是雙路互驗的價值。
答案 |z₁z₂| = √10 = 3.1623，兩法一致
採分點 模乘法 2 分；展開式 2 分；兩法互驗 2 分；錯誤展開報警 1 分
易錯點 把 −i² 算成 −1；把 |z₁z₂| 寫成 |z₁|+|z₂|；兩法結果不比對
三、規律小結與對照表
| 對象 | 幾何式 | 結果 | 前提 |
|---|---|---|---|
| 圓 | |z−z₀|=r | 圓心+半徑 | — |
| |z|max | |z₀|+r | 6 | 原點在圓外 |
| |z|min | |z₀|−r | 4 | 原點在圓外 |
| 乘積模 | |z₁||z₂| | √10 | 可先乘再取模 |
小結：圓上點到原點的距離沿連心線取極值。|z₀|=5、r=1，得 4 與 6；|z₁z₂| 兩法同為 3.1623，閉合。
四、自測清單
- 能說出 |z−z₀|=r 的幾何意義
- 能算圓心到原點的距離
- 能沿連心線求 |z| 最大最小
- 能說明原點在圓外的前提
- 能用模乘法求 |z₁z₂|
- 能先乘再取模做雙路互驗
