聯招數學·均值鏈與柯西不等式：等號成立條件要單獨驗

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

不等式求最值有兩步：先用不等式把界找出來，再單獨驗等號能不能取到。界找到了但等號條件與題設衝突，那個值就不是最值，只是上界或下界。

本篇兩題：a、b>0 且 a+b=1 求 1/a+1/b 最小；x²+y²=1 求 3x+4y 最大。界與等號點都按公式現算。

二、逐題精講

題1

題1　設 a>0、b>0、a+b=1，求 1/a+1/b 的最小值並驗等號條件。

解析

柯西：(a+b)(1/a+1/b) ≥ (√(a·1/a) + √(b·1/b))² = (1+1)² = 4。因 a+b=1，故 1/a+1/b ≥ 4。

均值鏈同路：1/a+1/b ≥ 4/(a+b) = 4。

等號條件：a·(1/a) 項與 b·(1/b) 項成比例，即 a=b；結合 a+b=1 得 a=b=0.5。代回 1/0.5+1/0.5 = 4，等號確實取到，4 是最小值不是僅僅下界。

答案　最小值 4，等號在 a=b=0.5 時取到

採分點　柯西列式 2 分；界 1 分；等號條件 2 分；代回驗證 2 分

易錯點　只報 4 不驗等號；把等號條件寫成 a=1,b=0（不在定義域）；漏 a,b>0 前提

題2

題2　設 x²+y²=1，求 3x+4y 的最大值並驗等號條件。

解析

柯西：(3²+4²)(x²+y²) ≥ (3x+4y)²，即 25×1 ≥ (3x+4y)²，故 3x+4y ≤ 5（取正側）。

等號條件：(x,y) 與 (3,4) 成比例且同向，x/3 = y/4 = 1/5，得 x=0.6、y=0.8。

回代核驗：x²+y² = 0.6²+0.8² = 1.0，滿足約束；3x+4y = 5.0 = 5，等號取到，閉合。若取反向 (−0.6,−0.8) 得 −5，是最小值不是最大值。

答案　最大值 5，等號在 x=0.6、y=0.8 時取到

採分點　柯西列式 2 分；界 1 分；等號比例 2 分；約束與取值雙回代 2 分

易錯點　把 −5 當成最大值；等號比例寫成 x/y=3/4 卻不帶歸一化；漏驗 x²+y²=1

三、規律小結與對照表

小結：界靠不等式，最值靠等號條件。兩題分別得 4 與 5，等號點 a=b=0.5、(x,y)=(0.6,0.8) 都代回驗過，不是隻報一個上界下界。

四、自測清單

• 能用柯西寫出 (a+b)(1/a+1/b)≥4
• 能驗 a=b=0.5 等號條件
• 能用柯西寫出 (9+16)(x²+y²)≥(3x+4y)²
• 能由比例求等號點
• 能代回約束與取值雙驗
• 能說明條件衝突時只是界不是最值