題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
含兩個絕對值的方程，第一步不是兩邊平方，而是找零點切段。|x−2| 的零點是 2，|x+1| 的零點是 −1，於是數軸被切成 x<−1、−1≤x<2、x≥2 三段；每段裡兩個絕對值各自定號，去掉符號後就是一元一次方程。
去完號解出的根，必須回代檢查它是否落在「本段所設的區間」裡——這是分段討論最容易漏的一步。另外，把左邊看成 f(x)=|x−2|+|x+1|，它在中段恆等於兩個零點之間的距離 3，也就是最小值。
二、逐題精講
題1
題1 解方程 |x−2| + |x+1| = 5，並驗根。
解析
第一段 x<−1：|x−2|=2−x，|x+1|=−x−1，方程化為 (2−x)+(−x−1)=1−2x=5，得 x=-2。驗：-2<−1 成立，且 |-2−2|+|-2+1| = 4+1 = 5，是解。
第二段 −1≤x<2：|x−2|=2−x，|x+1|=x+1，左邊 = (2−x)+(x+1) = 3，方程變成 3=5，無解。這一段恰恰是「恆等於常數」的區間，不需要再解。
第三段 x≥2：|x−2|=x−2，|x+1|=x+1，方程化為 (x−2)+(x+1)=2x−1=5，得 x=3。驗：3≥2 成立，且 |3−2|+|3+1| = 1+4 = 5，是解。
回代核驗：f(-2) = 5 = 5，f(3) = 5 = 5，f(0) = 3 = 3；中段恆值正好是最小值，所以 5>3 時恰有兩個解，與結果一致。
答案 x = -2 或 x = 3；兩解均在各自分段區間內且回代成立
採分點 三段劃分 2 分；三段各自去絕對值 3 分；兩個解各 1 分；回代驗區間 2 分
易錯點 解出 x=-2 後不驗它是否小於 −1；中段 3=5 硬解出一個根
題2
題2 設 f(x)=|x−2|+|x+1|，求 f(x) 的最小值；並給出方程 f(x)=a 有解時 a 的條件。若 a=3，有幾個解？
解析
由題1 的分段結果：x<−1 時 f=1−2x 隨 x 增大而減小；−1≤x<2 時 f=3 恆定；x≥2 時 f=2x−1 隨 x 增大而增大。故最小值就是中段恆值 3，取到最小值的 x 有無窮多個（整段 [−1,2) 加上端點 2）。
因此 f(x)=a 有解當且僅當 a≥3。a<3 無解；a=3 有無窮多解；a>3 恰有兩個解（左右各一）。本題 a=3 = 3，屬於「恰在最小值」的邊界情形，解集是 [−1,2]，不是兩個數。
回代核驗：f(−1)=|−3|+0=3，f(2)=0+3=3，端點都取到；若誤答「兩個解」，是把 a>3 的結論套到了 a=3 上。邊界情形必須單獨判。
答案 最小值 3；f(x)=a 有解當且僅當 a≥3；a=3 時解集為 [−1,2]，無窮多解
採分點 分段單調性 2 分；最小值 3 1 分；有解條件 a≥3 2 分；a=3 的邊界解集 2 分；端點回代 1 分
易錯點 把 a=3 當成「兩解」；漏掉中段整段取到最小值這一事實
三、規律小結與對照表
| 區間 | 去掉絕對值後 | 方程/結論 | 驗根 |
|---|---|---|---|
| x<−1 | 1−2x | x=-2 | -2<−1 成立 |
| −1≤x<2 | 3 恆定 | 3=5 無解 | 無需解 |
| x≥2 | 2x−1 | x=3 | 3≥2 成立 |
| 有解條件 | a≥3 | a=3 時整段 | 邊界單判 |
小結：零點切段 → 每段去號 → 解出必驗區間 → 再看恆值段給最小值與有解條件。本題兩解 -2、3，最小值 3，a=3 時解集是一整段而不是兩個點。題面與數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能用兩個零點把數軸切成三段
- 能在每段正確去絕對值符號
- 能把解回代驗是否落在本段區間
- 能由中段恆值得到最小值
- 能寫出 a≥3 的有解條件
- 能單獨處理 a=3 時解集為整段的邊界情形
