題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
把 n 個相同小球分給 k 個不同對象，求「每人至少一個」的方案數，標準做法是隔板法：n 個球排成一列，中間 n−1 個空隙裡插 k−1 塊板，得 C(n−1, k−1)。
兩個變體最容易混：允許有人得 0 個時，先給每人「借」一個球湊成 n+k 個再按正整數解算，得 C(n+k−1, k−1)；若要求每人至少 m 個，先給每人預發 m−1 個（把下界降回 1），再套正整數解公式。下面以 n=10、k=3 的自編題面逐一代回。
二、逐題精講
題1
題1 求方程 x1+x2+x3=10 的正整數解個數與非負整數解個數。
解析
正整數解：xi≥1，10 個球中間 9 個空隙插 2 塊板，C(9,2) = 36。
非負整數解：xi≥0。令 yi = xi+1 ≥ 1，則 y1+y2+y3 = 13，正整數解 C(12,2) = 66。等價寫法是「10 個球加 3 個借來的球共 13 個，插 2 塊板」。
兩者之差 66 − 36 = 30，正是「至少有一個變量為 0」的解數——不是別的東西，別把它解釋成公式誤差。回代核驗：C(9,2)=36、C(12,2)=66，且 36+30 = 66 閉合。
答案 正整數解 36 個；非負整數解 66 個；含零解 30 個
採分點 正整數解公式 2 分；非負整數解借球變換 3 分；兩個組合數值各 1 分；差值含義 1 分；回代 1 分
易錯點 非負解直接套 C(9,2)；把 30 說成「取位差」或公式錯
題2
題2 把 10 個相同小球分給 3 人，每人至少 2 個，有多少種分法？並說明為什麼不能直接用 C(9,2)。
解析
先每人預發 1 個（把「至少 2」降成「至少 1」），共發掉 3 個，剩 7 個按正整數解分：C(6,2) = 15。等價地令 yi = xi − 2 ≥ 0，則 y1+y2+y3 = 10 − 6 = 4，非負整數解 C(4+3−1, 3−1) = C(6,2) = 15，兩條路徑同值。
不能直接用 C(9,2)：C(9,2)=36 只保證每人至少 1 個，裡面混進了「某人恰好 1 個」的分法，不滿足至少 2 個。先扣下界是必須的一步。
回代核驗：15 = 15；且 15 < 36 < 66，三檔限制由緊到松、計數由小到大，順序自洽。若算出「至少 2 個」比「至少 1 個」還多，一定是漏了預分配。
答案 15 種；先各預發 1 個剩 7 個按正整數解，或令 yi=xi−2 得 C(6,2)
採分點 預分配思路 2 分；C(6,2)=15 2 分；兩條路徑互驗 2 分；說明不能直接用 C(9,2) 2 分；三檔大小順序 1 分
易錯點 直接套 C(9,2)；預發 2 個而不是 1 個導致剩 4 個算錯
三、規律小結與對照表
| 限制 | 變換 | 公式 | 結果 |
|---|---|---|---|
| xi≥1 | 直接插板 | C(9,2) | 36 |
| xi≥0 | yi=xi+1 | C(12,2) | 66 |
| xi≥2 | yi=xi−2 | C(6,2) | 15 |
| 板數 | k−1=2 | 三檔相同 | 不變 |
小結：板數永遠是 k−1，變的是「球數」——先按 xi≥1 還是 xi≥0 扣/借，再代入。本例三檔得 36、66、15，含零解 30 個。題面數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能用 C(n−1,k−1) 算正整數解
- 能用 yi=xi+1 算非負整數解
- 能用預分配或 yi=xi−2 處理下界
- 知道板數由 k−1 決定
- 能解釋 30 是含零解數
- 能驗證三檔計數大小順序
