聯招物理·U–I 圖測電源 E 與 r：截距、斜率與電壓表分流偏差

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

測電源電動勢與內阻，最省事的是把 U 看成 I 的一次函數：U = E − I r。縱軸截距給 E，斜率絕對值給 r。讀數不必湊整，五組點落在一條直線上就能反推。

但這是理想接法。若電壓表並在電源兩端、電流表只讀過負載支路的電流 I，則流過電源的總電流其實是 I + U/Rv（Rv 為電壓表內阻，自編示意取 10.0 Ω）。把這一項代回 U = E − I總·r，圖線就不再是原來的截距和斜率了。器件參數與讀數均為自編示意，不代表真實儀表。

二、逐題精講

題1

題1　自編示意讀數：I = 0.20、0.40、0.60、0.80、1.00 A 時，U = 1.30、1.10、0.90、0.70、0.50 V。求 E 與 r，並寫出 U = 0.80 A、1.00 A 處的回代值。

解析

任取兩組：I 從 0.20 增到 0.40 A，U 從 1.30 降到 1.10 V，斜率 ΔU/ΔI = (1.10−1.30)/(0.40−0.20) = −1.00 V/A，故 r = −斜率 = 1.0 Ω。

截距：E = U + I r = 1.30 + 0.20×1.0 = 1.5 V。所以圖線為 U = 1.5 − 1.0I。

回代核驗：I=0.80 時 U = 1.5 − 1.0×0.80 = 0.7 V，與讀數 0.70 一致；I=1.00 時 U = 1.5 − 1.0×1.00 = 0.5 V，與 0.50 一致。五組點全在直線上，說明題給讀數自洽，不需要最小二乘擬合。

答案　E = 1.5 V，r = 1.0 Ω，U = 1.5 − 1.0I；I=0.80 時 0.7 V，I=1.00 時 0.5 V

採分點　斜率求 r 2 分；截距求 E 2 分；寫出圖線式 1 分；兩處回代各 1 分；說明五點共線 1 分

易錯點　把斜率直接當 r 忘了取絕對值；用錯兩組點導致截距偏移

題2

題2　若電壓表內阻 Rv = 10.0 Ω 有限，電流表只讀負載支路電流 I，推導按 I 作圖得到的 E測 與 r測，並求相對偏差。

解析

電源總電流 I總 = I + U/Rv。代入 U = E − I總·r 得 U = E − (I + U/Rv) r，整理：U(1 + r/Rv) = E − I r，即 U = E/(1+r/Rv) − I·r/(1+r/Rv)。

令 k = 1 + r/Rv = 1 + 1.0/10.0 = 1.1。於是 E測 = E/k = 1.5/1.1 = 1.3636 V，r測 = r/k = 1.0/1.1 = 0.9091 Ω。

兩者按同一因子 1/k 縮小，相對偏差 = (1/k − 1)×100% = -9.1%。也就是分流讓截距和斜率一起偏小，且偏小比例相同；不能只說「E 測小了」而漏掉 r。

回代核驗：用 E測 與 r測 反算 I 總關係，U = 1.3636 − 0.9091I 在 I=0.20 時給 1.1818 V，而按精確式 U = (E − I r)/k = (1.5−0.2)/1.1 = 1.1818 V，一致。注意這裡「偏小」是相對真值 1.5 V 與 1.0 Ω，不是相對讀數。

答案　k = 1.1；E測 ≈ 1.3636 V，r測 ≈ 0.9091 Ω，兩者同偏 -9.1%

採分點　寫出 I總 = I + U/Rv 2 分；整理出 U 的新圖線式 2 分；E測、r測 各 1 分；同一因子結論 1 分；相對偏差 -9.1% 1 分；回代核驗 1 分

易錯點　漏掉 U/Rv 項直接說「分流不影響」；只算 E 不算 r 的偏差

三、規律小結與對照表

小結：理想圖線 U = 1.5 − 1.0I；電壓表一分流，截距與斜率被同一個因子 1/1.1 壓小，E測 ≈ 1.3636 V、r測 ≈ 0.9091 Ω，同偏 -9.1%。讀數與 Rv 均為自編示意，不代表真實儀表參數。

四、自測清單

• 能由 ΔU/ΔI 求內阻並取絕對值
• 能由 U+Ir 求電動勢
• 能用五組讀數回代驗證共線
• 能寫出 I總 = I + U/Rv 並整理新圖線式
• 能解釋截距與斜率按同一因子縮小
• 不把「偏小」說成只發生在 E 上