聯招數學·二項分佈與超幾何分佈：期望相同，方差和概率都不同

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

「從 10 個球（3 紅 7 白）裡抽 5 次，紅球個數」不是一個分佈，是兩個：每次放回再抽，各次獨立、紅球概率恆為 0.3，是二項分佈 B(5, 0.3)；一次抓 5 個不放回，各次不獨立，是超幾何分佈 H(N=10, M=3, n=5)。

兩者期望公式長得一樣（都是 n·M/N），但方差與具體概率不同。下面全部按題面參數現算，袋中球數與顏色數均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1　有放回抽 5 次，求紅球數 X 的期望、方差與 P(X=2)。

解析

X ~ B(5, 0.3)。E(X) = np = 5×0.3 = 1.5；Var(X) = np(1−p) = 5×0.3×0.7 = 1.05。

P(X=2) = C(5,2)·0.3²·0.7³ = 10×0.09×0.343 = 0.3087。

回代核驗：把 0.343 寫成 0.7³、0.09 寫成 0.3²，乘積 0.03087 乘 10 得 0.3087；又 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) 只是分佈的一部分，別把它當全概率，全概率要 k 從 0 加到 5 才等於 1。

答案　E(X) = 1.5，Var(X) = 1.05，P(X=2) = 0.3087

採分點　識別二項分佈 1 分；期望 1.5 1 分；方差 1.05 2 分；P(X=2) 公式與數值 3 分；說明需 k=0..5 才歸一 1 分

易錯點　把不放回也套 np(1−p)；只算三項就說「概率和為 1」

題2

題2　無放回一次抓 5 個，求紅球數 Y 的期望、方差與 P(Y=2)，並與題1 比較。

解析

Y ~ H(10, 3, 5)。E(Y) = n·M/N = 5×3/10 = 1.5，與二項分佈相同。

Var(Y) = n·p·(1−p)·(N−n)/(N−1) = 5×0.3×0.7×(10−5)/(10−1) = 1.05×0.5556 = 0.5833。多出來的因子 0.5556 叫有限總體修正，因為不放回使後面抽取的信息變多、波動變小。

P(Y=2) = C(3,2)·C(7,3)/C(10,5) = 3×35/252 = 105/252 = 0.4167。

比較：期望同為 1.5，但 P(X=2)=0.3087 與 P(Y=2)=0.4167 不同，方差 1.05 與 0.5833 之比 = 1.8。所以「期望相同」絕不等於「分佈相同」；把超幾何當二項會把方差高估 1.8 倍。

回代核驗：1.05/0.5833 = 1.8，而 1/0.5556 = 1.8，兩條路徑一致；C(10,5)=252、3×35=105 閉合。

答案　E(Y) = 1.5，Var(Y) = 0.5833，P(Y=2) = 0.4167；期望同、方差比 1.8、概率不同

採分點　超幾何期望 1 分；有限總體修正因子 0.5556 2 分；方差 0.5833 2 分；P(Y=2) 2 分；三處比較 2 分；方差比回代 1 分

易錯點　漏乘 (N−n)/(N−1)；把 P(Y=2) 寫成 C(5,2)0.3²0.7³

三、規律小結與對照表

小結：先讀「放不放回」，再選模型。期望都是 1.5，但方差 1.05 對 0.5833、概率 0.3087 對 0.4167，方差比 1.8。袋中球數為自編示意，不代表真實抽樣。

四、自測清單

• 能按放不放回區分二項與超幾何
• 能算二項分佈的期望與方差
• 能算超幾何分佈的方差並寫出有限總體修正
• 能用組合數算 P(Y=2)
• 知道期望相同不推出分佈相同
• 能回代方差比與修正因子