聯招數學·五點法作 y=3sin(2x+π/6)：先平移還是先壓縮，平移量不一樣

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

五點法的骨架是令整體相位 θ = ωx + φ 依次取 0、π/2、π、3π/2、2π，反解出五個 x，再對應 y = 0、A、0、−A、0。這樣不必描無數點就能定出一個週期的形狀。

另一個高頻錯在變換順序：從 y=sin x 到 y=3sin(2x+π/6)，可以先平移再壓縮，也可以先壓縮再平移，但兩條路的平移量不同，混用就會把相位弄丟。下面按自編題面現算，所有角度與數值均為示意。

二、逐題精講

題1

題1　對 y = 3sin(2x + π/6)，用五點法列出一個週期內五個關鍵點的橫座標與函數值，並求週期。

解析

A = 3，ω = 2，φ = π/6，週期 T = 2π/ω = 3.1416。

令 2x + π/6 = 0、π/2、π、3π/2、2π，逐點反解：

θ=0 → x = −π/12 ≈ -0.2618，y=0；θ=π/2 → x = π/6 ≈ 0.5236，y=3；θ=π → x = 5π/12 ≈ 1.3090，y=0；θ=3π/2 → x = 2π/3 ≈ 2.0944，y=-3；θ=2π → x = 11π/12 ≈ 2.8798，y=0。

回代核驗：把 x2 代回，2×π/6 + π/6 = π/2，sin 為 1，乘 A 得 3；把 x4 代回，2×2π/3 + π/6 = 3π/2，sin 為 −1，乘 A 得 -3。五點橫座標首尾相距 3.1416 = π，正好一個週期。

答案　五點 x ≈ -0.2618、0.5236、1.3090、2.0944、2.8798；y = 0、3、0、-3、0；T = 3.1416

採分點　寫出 A、ω、φ 與週期 2 分；五個橫座標各 1 分；五個函數值 2 分；兩點代回驗算 2 分；首尾間距回代 1 分

易錯點　把 x 當成 θ 直接取 0、π/2…；忘了除以 ω

題2

題2　從 y=sin x 出發，給出兩條得到 y=3sin(2x+π/6) 的變換順序及各步平移量；若先壓縮後仍平移 π/12，會得到什麼？

解析

路線一（先平移後壓縮）：y=sin x 先左移 φ 本身，即 π/6 ≈ 0.5236，得 sin(x+π/6)；再把橫座標壓縮到原來的 1/2（把 x 換成 2x）得 sin(2x+π/6)；最後縱向伸長 3 倍。注意這一步平移的是「x」不是「2x」，所以量是 φ 而不是 φ/ω。

路線二（先壓縮後平移）：先把 x 換成 2x 得 sin 2x；此時再左移 φ/ω = (π/6)/2 = π/12 ≈ 0.2618，得 sin(2(x+π/12)) = sin(2x+π/6)；最後縱向伸長 3 倍。壓縮之後括號裡已經是 2x，平移量必須除以 ω。

兩個平移量 0.5236 與 0.2618 相差 ω=2 倍，不能混用。若先壓縮後仍平移 0.5236，得 sin(2(x+π/6)) = sin(2x+π/3)，相位多了一倍；若先平移只移 0.2618 再壓縮，得 sin(2x+π/12)，相位少了一半。

回代核驗：0.5236 = 2×0.2618；把 0.2618 代入 2(x+0.2618) = 2x+π/6，或把 0.5236 代入 (2x+0.5236) = 2x+π/6，兩條路都回到題面相位，閉環。

答案　先平移 π/6≈0.5236 再壓縮；或先壓縮再平移 π/12≈0.2618；兩量差 ω=2 倍，混用會得 π/3 或 π/12

採分點　兩條順序各 2 分；兩個平移量各 1 分；混用後的錯誤相位 2 分；φ/ω=π/12 關係 1 分；回代 1 分

易錯點　把 π/6 與 π/12 張冠李戴；認為「振幅變換會改變平移量」

三、規律小結與對照表

小結：五點法令相位取五個整值再除以 ω；變換順序換一次，平移量就差 ω 倍。本題 T=3.1416、A=3，五點首尾相距 π。題面與數值均為自編示意。

四、自測清單

• 能用 θ=ωx+φ 取五個整值反解 x
• 能求週期 T=2π/ω
• 能由相位回代驗峰值與谷值
• 知道兩種變換順序的平移量不同
• 能算出 φ/ω=π/12 與 φ=π/6 的差
• 不把橫座標壓縮與縱向伸長混為一談