題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
把 n 顆不同珠子排成一列是 n!。但穿成圓環後，沒有「第一顆」：同一種擺法旋轉 n 次會得到 n 個直線排列，所以圓排列數 = n!/n = (n−1)!。
若再把「翻過來」也看成同一種（項鍊可以從反面看），每種擺法還多一個鏡像，通常再除以 2，得 (n−1)!/2。兩次除法各消掉一種對稱，不能合併成一次，也不能多除。下面按 n=5 與 n=6 的自編題面現算。
二、逐題精講
題1
題1 5 顆不同珠子，分別求直線排列、圓排列（旋轉視為同一）與項鍊排列（旋轉與翻轉都視為同一）的種數。
解析
直線排列：5! = 120 種。
圓排列：固定一顆珠子當參照，其餘 5−1 = 4 顆繞它排，(5−1)! = 24 種；等價寫法 5!/5 = 120/5 = 24。
項鍊排列：圓環翻面後與鏡像同一，再除以 2，得 24/2 = 12 種。
回代核驗：120/24 = 5.0，正好是旋轉等價的 n=5 倍；24/12 = 2.0，正好是翻轉等價的 2 倍。兩次除法各有來由，不是「隨便除一下」。
答案 直線 120 種，圓排列 24 種，項鍊 12 種；兩次分別除 5 與 2
採分點 直線排列 120 1 分；圓排列公式與 24 3 分；項鍊排列 12 2 分；兩次除法說明 2 分；兩個倍數回代 2 分
易錯點 圓排列寫成 5!；項鍊排列只除一次 5
題2
題2 若把圓排列誤按直線排列報數，誇大多少倍？把項鍊誤按圓排列報數呢？用 6 顆珠子再驗一次三個數。
解析
圓排當直線排：120/24 = 5.0 倍；項鍊當圓排：24/12 = 2.0 倍。注意這兩個倍數回答的是不同問題，不能相乘說成「總共誇大 10 倍」——從項鍊一路誤到直線才是 120/12 = 10 倍，中間隔了兩次不同的對稱。
6 顆珠子：直線 6! = 720，圓排 (6−1)! = 120，項鍊 120/2 = 60。比值 720/120 = 6.0，與 n=6 一致，說明「旋轉等價除 n」對任意 n 成立。
回代核驗：120×6.0 = 720，60×2 = 120；5=5 時 12×2 = 24、24×5.0 = 120，兩組數各自閉合。
答案 圓排當直線誇大 5.0 倍，項鍊當圓排誇大 2.0 倍；6 顆時 720/120/60，旋轉倍數 6.0
採分點 兩個誇大倍數各 2 分；不相乘的說明 1 分；6 顆三個數 2 分；旋轉倍數 6.0 1 分；兩組回代 2 分
易錯點 把 5 倍與 2 倍相乘當成同一個誤判的誇大；項鍊排列漏除翻轉
三、規律小結與對照表
| 排法 | 公式 | 5 顆 | 6 顆 |
|---|---|---|---|
| 直線 | n! | 120 | 720 |
| 圓排列 | (n−1)! | 24 | 120 |
| 項鍊 | (n−1)!/2 | 12 | 60 |
| 旋轉倍數 | n | 5.0 | 6.0 |
小結：旋轉同一除 n，翻轉同一再除 2。5 顆得 120/24/12，6 顆得 720/120/60；兩次除法各消一種對稱，別合併也別多除。題面數值均為自編示意。
四、自測清單
- 知道圓排列是 (n−1)! 並理解旋轉等價
- 知道項鍊排列再除以 2
- 能算直線、圓排、項鍊三個數
- 能解釋兩次除法各消一種對稱
- 能用 6 顆珠子驗證旋轉倍數
- 不把兩個誇大倍數相乘當同一誤判
