題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
等比數列前 n 項和 S(n) = a1(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）。只有 |q|<1 時 qⁿ→0，才談得上無窮遞縮和 S∞ = a1/(1−q)；|q|≥1 時部分和發散或振盪，硬套公式會給出一個沒有意義的數。
餘項 R(n) = S∞ − S(n) = a1 qⁿ/(1−q)，也就是「後面所有項之和」仍是一個等比和，可用 |q|ⁿ·S∞ 直接算。下面按自編示意 a1 = 2、q = 1/2 現算。
二、逐題精講
題1
題1 a1 = 2、q = 1/2，求 S5、S∞ 與餘項 R5，並驗證 R5 的兩種算法一致。
解析
S5 = a1(1−q⁵)/(1−q) = 2(1−(1/2)⁵)/(1−1/2) = 4×(1−1/32) = 4×31/32 = 3.875。
因 |q| = 0.5 < 1，S∞ = a1/(1−q) = 2/0.5 = 4.0。
餘項：R5 = S∞ − S5 = 4.0 − 3.875 = 0.125；另一路 R5 = a1 q⁵/(1−q) = |q|⁵·S∞ = 0.03125×4.0 = 0.125，兩值相同。回代核驗：3.875 + 0.125 = 4.0，閉合；逐項加 2+1+0.5+0.25+0.125 = 3.875 也等於 3.875。
答案 S5 = 3.875，S∞ = 4.0，R5 = 0.125；兩種餘項算法同值 0.125
採分點 S5 公式與數值 3 分；收斂條件說明 1 分；S∞ 2 分；餘項兩路各 1 分；逐項加回代 1 分
易錯點 |q|≥1 仍套 S∞；餘項寫成 S5−S∞ 得負數
題2
題2 若把公比改成 q = 2，S5 是多少？S∞ 存在嗎？說明為什麼不能「把 n 取得很大」來逼近。
解析
q = 2 時 S5 = a1(q⁵−1)/(q−1) = 2(32−1)/1 = 62.0（用 qⁿ−1 形式只是為了避免負號，數值一致）。
|q| = 2 ≥ 1，qⁿ 不趨於 0，部分和隨 n 增大而發散，S∞ **不存在**。此時若硬套 a1/(1−q) = 2/(1−2) = −2，會得到與正項部分和完全矛盾的負數，這就是公式越界的典型信號。
「把 n 取很大」只能讓 S(n) 變大，不會讓它穩定到某個極限；收斂是 qⁿ→0 的性質，不是 n 大就自動成立。回代核驗：q=1/2 時 0.03125 = (1/2)⁵ 已很小，故餘項 0.125 也小；q=2 時 2⁵ = 32 反而放大，兩相對照就是收斂條件的作用。
答案 q=2 時 S5 = 62.0；S∞ 不存在，硬套公式會得 −2 與正項和矛盾
採分點 S5 = 62.0 2 分；收斂條件判定 2 分；硬套公式的荒謬值 2 分；n 大不等於收斂 2 分；兩公比對照回代 1 分
易錯點 把 −2 當成「無窮和」；認為 n 取夠大就能逼近
三、規律小結與對照表
| 公比 | |q| | S5 | S∞ |
|---|---|---|---|
| 1/2 | <1 | 3.875 | 4.0 |
| 1/2 餘項 | — | R5=0.125 | |q|⁵·S∞=0.125 |
| 2 | ≥1 | 62.0 | 不存在 |
| 硬套公式 | — | — | −2 矛盾 |
小結：先驗 |q|<1 再談 S∞。本例 S5=3.875、S∞=4.0、R5=0.125；換成 q=2 後 S5=62.0 而無窮和不存在。數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能用 S(n)=a1(1−qⁿ)/(1−q) 求前 n 項和
- 知道 |q|<1 才有無窮遞縮和
- 能用 S∞=a1/(1−q) 求無窮和
- 能用兩種算法算餘項並互驗
- 知道 |q|≥1 時硬套公式會得矛盾值
- 能說明 n 大不等於收斂
