題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
求點到平面的距離，直接作垂線往往找不到落點；更穩的是「等體積法」：同一個三稜錐換一個面當底面，體積不變，於是 V = 1/3·S·h 裡的 h 就能反解出來。
自編示意：三稜錐 P-ABC 中，A 為直角頂點，AB = 3、AC = 4、PA = 4 兩兩垂直。邊長均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 以 ABC 為底求體積 V，並寫出 PB、PC、BC 三條稜長。
解析
底面 ABC 是直角三角形，S(ABC) = ½×AB×AC = ½×3×4 = 6.0。因 PA ⊥ 平面 ABC，高就是 PA = 4。
V = 1/3·S(ABC)·PA = 1/3×6.0×4 = 8.0。
三條稜：PB = √(PA²+AB²) = √(16+9) = 5；PC = √(PA²+AC²) = √32 = 5.6569；BC = √(AB²+AC²) = 5 = 5。回代核驗：把 V 寫成 1/3×6.0×4 = 8.0，與逐乘一致；三個稜長都滿足勾股，說明題給邊長自洽。
答案 S(ABC)=6.0，V=8.0；PB=5、PC=5.6569、BC=5
採分點 底面積 1 分；體積 8.0 3 分；三條稜長各 1 分；勾股回代 2 分
易錯點 把 PA 當底面的邊而不是高；體積漏乘 1/3
題2
題2 用等體積法求 A 到平面 PBC 的距離 h，並用直角頂點倒平方和公式互驗。
解析
換底：V = 1/3·S(PBC)·h，故 h = 3V/S(PBC)。先由向量叉積求 S(PBC)：取 A 為原點，AB=(3,0,0)、AC=(0,4,0)、AP=(0,0,4)，則 (B−P)×(C−P) = (16,12,12)，模長 √544 ≈ 23.324，S(PBC) = ½×23.324 = 11.6619。於是 h = 3×8.0/11.6619 = 2.058。
互驗：直角頂點 A 到斜面 PBC 的距離滿足 1/h² = 1/AB² + 1/AC² + 1/PA² = 1/9 + 1/16 + 1/16 = 0.236111，故 h = 1/√0.236111 = 2.058，與等體積法同值。
回代核驗：1/3×11.6619×2.058 = 8.0，與題1 體積一致；兩條路徑一個用叉積求面積、一個用倒平方和，互不依賴卻給同一個 h，這就是等體積法最可靠的自檢。
答案 S(PBC)≈11.6619，h≈2.058；1/h²=0.236111 給同一 h，回代體積 8.0
採分點 換底寫出 h=3V/S 2 分；叉積求面積 2 分；h 數值 2 分；倒平方和公式 2 分；兩路互驗 2 分
易錯點 把 S(PBC) 當成 S(ABC)；倒平方和裡漏掉 1/PA²
三、規律小結與對照表
| 量 | 以 ABC 為底 | 以 PBC 為底 | 關係 |
|---|---|---|---|
| 底面積 | 6.0 | 11.6619 | 不同 |
| 高 | 4 | 2.058 | 待求 |
| 體積 | 8.0 | 8.0 | 相等 |
| 倒平方和 | — | 0.236111 | 1/h² |
小結：換一次底面，體積不變，高就解出來了。本例 V=8.0、S(PBC)≈11.6619、h≈2.058，1/h²=0.236111 兩路閉合。邊長均為自編示意。
四、自測清單
- 能用 V=1/3·S·h 以 ABC 為底求體積
- 能換底寫出 h=3V/S(PBC)
- 能用向量叉積求斜面面積
- 知道直角頂點倒平方和公式
- 能用兩條獨立路徑互驗 h
- 不把兩個底面積混用
