聯招物理·亥姆霍茲線圈測 e/m：中心磁場裡有個 (4/5)³ᐟ²

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

亥姆霍茲線圈是兩個相同、同軸、間距恰等於半徑 R 的線圈。這個間距讓軸心附近一階磁場不均勻性抵消，中心磁感應強度有簡潔式子：B = (4/5)^(3/2)·μ0 N I / R。

電子經電壓 U 加速後垂直進入該磁場做勻速圓周運動：eU = ½mv²，e v B = m v²/r，兩式聯立即得 e/m = 2U/(B²r²)。自編示意取 N = 100、I = 1.0 A、R = 0.1 m、U = 200 V、e/m = 1.76×10¹¹ C/kg 作正向驗算，參數不代表真實實驗條件。

二、逐題精講

題1

題1　求軸心磁感應強度 B（寫出係數來源），並由 U = 200 V 求電子速度 v。

解析

單線圈軸線上距中心 x 處 B = μ0 N I R²/(2(R²+x²)^(3/2))。兩線圈各距中心 R/2，疊加後中心處 B = 2×μ0 N I R²/(2(R²+R²/4)^(3/2)) = (4/5)^(3/2)·μ0 N I / R，係數 0.715542 即由此而來。

代入：μ0 N I / R = 4π×10⁻⁷×100×1.0/0.1 = 0.001257 T，乘 0.715542 得 B = 0.0008991763 T。

加速：v = √(2(e/m)U) = √(2×1.76×10¹¹×200) = 8390471 m/s。

回代核驗：½ m v² = eU 即 v²/(2U) = e/m = 1.76×10¹¹，代回成立；(4/5)^(3/2) = 0.715542，與兩線圈疊加式一致。

答案　係數 0.715542；B = 0.0008991763 T；v = 8390471 m/s

採分點　寫出疊加與係數來源 3 分；μ0NI/R 1 分；B 2 分；加速式 2 分；v 1 分；回代 1 分

易錯點　把 (4/5)^(3/2) 寫成 4/5 或 (4/5)²；加速式漏掉係數 2

題2

題2　求電子迴旋半徑 r，再由 r 與 B 反推 e/m，驗證是否回到 1.76×10¹¹。

解析

由 e v B = m v²/r 得 r = m v/(e B) = v/((e/m)B) = 8390471/(1.76×10¹¹×0.0008991763) = 0.05302 m。

反推：e/m = 2U/(B² r²) = 2×200/(0.0008991763²×0.05302²) = 176000000000 C/kg，與正向取值（寫作 176000000000 C/kg）在取位內一致，閉環。

回代核驗：176000000000/1.76×10¹¹ ≈ 1；另由 r = √(2U/(e/m))/B 直接算也得 0.05302 m。注意 e/m 與 B 都要用同一組單位（T、m、V、C/kg），若把 r 寫成 cm 而公式裡按 m 用，會差 10⁴ 倍。

答案　r = 0.05302 m；反推 e/m = 176000000000 C/kg，與 1.76×10¹¹ 閉合

採分點　寫出 r=v/((e/m)B) 2 分；r 數值 2 分；反解式 2 分；176000000000 1 分；單位一致說明 1 分；兩路回代 1 分

易錯點　把 r 用 cm 代入；反解式寫成 U/(B²r²) 漏 2

三、規律小結與對照表

小結：間距取 R 才有 (4/5)^(3/2) 這個係數；加速給 v、磁場給 r，兩式聯立反推荷質比。本例 B=0.0008991763 T、v=8390471 m/s、r=0.05302 m，反推 176000000000 C/kg 閉合。參數均為自編示意，不代表真實實驗條件。

四、自測清單

• 知道亥姆霍茲線圈間距等於半徑
• 能寫出軸心磁場係數 (4/5)^(3/2)
• 能用 eU=½mv² 求電子速度
• 能用 evB=mv²/r 求迴旋半徑
• 能由 2U/(B²r²) 反推荷質比
• 能保持 T、m、V 單位一致