題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
三次函數 f(x)=x³−3x+a 的導數是 f′(x)=3x²−3 = 3(x−1)(x+1)，所以 x=−1 是極大點、x=1 是極小點。圖像要穿過 x 軸三次，必須「極大在軸上、極小在軸下」；若兩極值同號，就只穿一次；極值恰等於 0 時出現重根。
下面把這條几何條件寫成對參數 a 的不等式，並取 a=0 做具體回代。
二、逐題精講
題1
題1 求極大值、極小值，並給出方程 f(x)=0 有三個、兩個、一個實根時 a 的範圍。
解析
f′(x) = 3(x−1)(x+1)，極值點 x = -1 與 x = 1。代入：f(-1) = (−1)³ − 3(−1) + a = 2 + a；f(1) = 1 − 3 + a = a − 2。
三個實根：f(-1) > 0 且 f(1) < 0，即 a + 2 > 0 且 a − 2 < 0，得 -2 < a < 2。兩個實根（含一個重根）：a + 2 = 0 或 a − 2 = 0，即 a = -2 或 a = 2。一個實根：a < -2 或 a > 2。
回代核驗：a = 2 時 f(1) = 0，x = 1 是重根，另有一根 x = −2；a = -2 時 x = −1 是重根、另一根 x = 2，兩處都與「兩根」一致。3/2/1 三檔互不相交且覆蓋全部 a。
答案 極大 a+2、極小 a−2；三根 -2<a<2，兩根 a=-2 或 2，一根 |a|>2
採分點 求導與極值點 2 分；兩個極值式 2 分；三根不等式 2 分；邊界重根 2 分；一根條件 1 分；回代 1 分
易錯點 把三根條件寫成 f(−1)<0 且 f(1)>0；漏掉 a=±2 的重根情形
題2
題2 取 a = 0，求 f(x)=0 的三個根，並逐一回代驗證。
解析
a = 0 時 f(x) = x³ − 3x = x(x² − 3)，故三根為 x = -1.7321、x = 0、x = 1.7321。
逐一回代：f(0) = 0；f(1.7321) = (1.7321)³ − 3×1.7321 = -0.0 ≈ 0；由 f 是奇函數，f(-1.7321) = −f(1.7321) = 0。三處都成立。
又因 a = 0 落在 -2 < a < 2 內，與題1「三根」結論一致；f(-1) = 2 > 0、f(1) = -2 < 0，符號條件也閉合。若把 a 取到 2，圖像在 x=1 處與軸相切，就退化成兩根，邊界情形必須單獨判。
答案 三根 -1.7321、0、1.7321；回代 f 均為 0，且 a=0 落在三根區間內
採分點 因式分解 2 分；三個根 2 分；逐一回代 2 分；奇函數說明 1 分；與題1 條件對應 2 分；邊界提示 1 分
易錯點 漏掉 x=0 這個根；把 √3 近似值當精確根寫
三、規律小結與對照表
| a 範圍 | 極值符號 | 實根數 | 典型 |
|---|---|---|---|
| -2<a<2 | 極大>0 極小<0 | 3 | a=0 |
| a=-2 或 a=2 | 某極值=0 | 2（重根） | 相切 |
| |a|>2 | 兩極值同號 | 1 | 單穿 |
| 極值點 | x=-1,1 | — | f′=0 |
小結：先由 f′ 找極值，再讓極大與極小異號。本例 −2<a<2 給三根、a=±2 給重根兩根、|a|>2 給一根；a=0 時三根 -1.7321、0、1.7321 全部回代成立。題面數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能由導數求出兩個極值點
- 能把極值寫成含參數 a 的式子
- 能由極值異號給出三根範圍
- 能單獨處理極值等於 0 的重根邊界
- 能在 a=0 時求出三個根
- 能把具體 a 與題1 範圍對應回代
