聯招數學·三角圖像變換：先平移後伸縮，相位差一半

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

變換順序不是可交換的。把 y=sin x 先向左平移 π/6，得 sin(x+π/6)；再把橫座標壓縮到原來的 1/2（x 換成 2x），得 sin(2x+π/6)。反過來先壓縮得 sin 2x，再向左平移 π/6，是把 x 換成 x+π/6，得 sin(2x+π/3)。同樣的「平移 π/6」，落到式子裡差了整整一倍。

更穩的寫法是把 ω 提出來：sin(2x+π/6)=sin 2(x+π/12)，實際平移量是 π/12；sin(2x+π/3)=sin 2(x+π/6)，實際平移量是 π/6。週期都由 ω=2 決定，T=2π/2=3.141593。

二、逐題精講

題1

題1　分別寫出兩條路線的解析式，並求它們的相位差與週期。

路線 A：y=sin x 左移 π/6，再橫座標壓縮到 1/2。路線 B：y=sin x 先橫座標壓縮到 1/2，再左移 π/6。

解析

路線 A：左移 π/6 得 sin(x+π/6)；壓縮把 x 換成 2x，得 sin(2x+π/6)，相位 φ_A=0.523599。路線 B：壓縮得 sin 2x；再左移 π/6 是把 x 換成 x+π/6，得 sin(2x+2·π/6)=sin(2x+π/3)，相位 φ_B=1.047198。

相位差 φ_B − φ_A = 1.047198 − 0.523599 = 0.523599 = π/6。週期 T = 2π/ω = 2π/2 = 3.141593，兩條路線 ω 都是 2，週期相同、只差相位。

提係數複核：A 的實際平移量 φ_A/ω = (π/6)/2 = 0.261799，B 為 φ_B/ω = (π/3)/2 = 0.523599。後者正是前者的 2 倍，與「先壓縮再平移會把平移量按 ω 縮放」一致。

答案　A：sin(2x+π/6)；B：sin(2x+π/3)；相位差 0.523599；週期 3.141593

採分點　兩式各 2 分；相位差 2 分；週期 1 分；提係數複核 2 分；順序辨析 1 分

易錯點　把「左移 π/6」直接加到 2x 後面不乘 ω；以為兩條路線週期不同

題2

題2　在 x=π/6 處分別求 A、B 的函數值；若把 B 誤寫成 sin(2x+π/6)，會漏掉什麼？

解析

A：sin(2·π/6 + π/6) = sin(π/2) = 1.000000。B：sin(2·π/6 + π/3) = sin(2π/3) = 0.866025。

把 B 誤寫成 A 的式子，x=π/6 處會由 0.866025 錯成 1.000000，最大值點也跟著移位：A 的最大值點滿足 2x+π/6=π/2 即 x=π/6，B 滿足 2x+π/3=π/2 即 x=0.261799。兩式同週期不同相位，圖像是左右錯開而非上下錯開。

回代核驗：A 在 x=π/6 取 1（最大值），B 在 x=π/12 取 1；兩點相差 π/12，正是兩路線實際平移量之差 0.523599 − 0.261799 = 0.261799。

答案　A 在 x=π/6 為 1.000000；B 為 0.866025；誤寫會把最大值點從 π/12 挪到 π/6

採分點　兩值各 2 分；最大值點解算 2 分；平移量差回代 2 分；圖像錯位辨析 1 分

易錯點　把 sin(2π/3) 記成 0.5 以外的錯值；以為相位差會改變週期

三、規律小結與對照表

小結：壓縮與平移不可交換，把 ω 提出來寫成 sin ω(x+φ/ω) 最穩。本例兩式週期同為 3.141593，相位差 0.523599，實際平移量差 0.261799。參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能分別寫出兩條變換路線的解析式
• 知道先壓縮後平移要乘 ω
• 會用提係數法求實際平移量
• 知道週期只由 ω 決定
• 能求指定點函數值與最大值點
• 能回代相位差與平移量差