聯招物理·斜面測動摩擦因數：μ 不是 tanθ

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

「物體在斜面上勻速下滑時 μ=tanθ」只在 a=0 時成立。一旦測得小車有加速度，重力沿斜面的分量要分成兩部分：一部分提供 ma，剩下的才被摩擦吃掉。列式是 mg sinθ − μmg cosθ = ma。

自編示意：斜面角 θ = 30°，測得小車下滑加速度 a = 2.00 m/s²，取 g = 9.80 m/s²。讀數與裝置均為自編示意，不代表真實測量記錄。

二、逐題精講

題1

題1　列方程求動摩擦因數 μ，並寫出無摩擦時的加速度 a₀。

解析

沿斜面方向：mg sinθ − f = ma，法向 N = mg cosθ，f = μN = μmg cosθ。代入得 μ = (g sinθ − a)/(g cosθ)。

sin30° = 0.500000，cos30° = 0.866025；g sinθ = 4.9000 m/s²，g cosθ = 8.4870 m/s²。μ = (4.9000 − 2.00)/8.4870 = 0.341697。

無摩擦時 μ=0，a₀ = g sinθ = 4.9000 m/s²。實測 a = 2.00 比 a₀ 小 2.9000，正是摩擦吃掉的那部分；回代核驗：g sinθ − μ·g cosθ = 4.9000 − 0.341697×8.4870 = 2.0000 = a，閉合。

答案　μ=0.341697；a₀=g sinθ=4.9000 m/s²；實測 a=2.00

採分點　受力方程 2 分；法向分量 1 分；μ 數值 2 分；a₀ 1 分；方程回代 2 分

易錯點　把法向寫成 mg sinθ；直接用 μ=tanθ

題2

題2　若誤用「勻速下滑」結論 μ=tanθ，會推出什麼矛盾？

解析

tan30° = 0.577350。若硬套 μ = tanθ = 0.577350，代回方程得 a = g sinθ − tanθ·g cosθ = 4.9000 − 0.577350×8.4870 = -0.000000 m/s²，即加速度為 0，與題給 a = 2.00 直接矛盾。

矛盾的根源是「勻速」這個前提：tanθ 是 a=0 時的特解，不是通解。本題有加速，μ 必須比重力沿面分量「全被摩擦抵消」時小，算得 0.341697 < 0.577350 正合此意。

回代核驗：0.577350 × 8.4870 = 4.9000 = 4.9000 = g sinθ，說明 tanθ 恰好讓兩分量相等；而 0.341697 × 8.4870 = 2.9000，比它小 2.0000 = ma/m，閉合。

答案　誤套 tanθ 會推出 a=-0.000000 m/s² 與題給 a=2.00 矛盾；μ=0.341697<tan30°=0.577350

採分點　tan30° 1 分；代回得 a=0 2 分；前提辨析 2 分；兩乘積回代 2 分；口徑 1 分

易錯點　說成「tanθ 與加速度無關」；把 μ<tanθ 講反

三、規律小結與對照表

小結：有加速度就列 mg sinθ − μmg cosθ = ma，別套勻速的特解。本例 μ=0.341697，無摩擦 a₀=4.9000 m/s²；誤用 tanθ 會把 a 壓成 0。讀數均為自編示意。

四、自測清單

• 能沿斜面與法向列牛頓第二定律
• 知道法向是 mg cosθ 不是 mg sinθ
• 會由 (g sinθ−a)/(g cosθ) 求 μ
• 知道 μ=tanθ 只在 a=0 成立
• 能代回方程驗證加速度
• 能解釋 μ<tanθ 的物理含義