聯招數學·向量夾角鈍角：點積小於 0 還要排除反向共線

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩向量夾角為鈍角，常見寫法是 a·b < 0。但這只是必要條件：a·b < 0 對應 cosθ < 0，θ 落在 (90°, 180°]，其中 θ = 180° 是兩向量反向共線，按定義不算鈍角。所以還要排除反向共線。

自編示意：a = (1, 2)，b = (x, −1)。參數僅用於展示充要條件的推導流程。

二、逐題精講

題1

題1　求 a·b、|a|，寫出夾角為鈍角時 x 的取值範圍，並說明為什麼要排除一個點。

解析

a·b = 1·x + 2·(−1) = x − 2。|a| = √(1²+2²) = 2.236068，|b| = √(x²+1)。

cosθ = (x−2)/(√5·√(x²+1))。鈍角要求 θ ∈ (90°, 180°)，即 cosθ < 0 → x − 2 < 0 → x < 2。

再排除反向共線：共線條件 1×(−1) − 2×x = 0，得 x = -0.5。此時 a·b = -2.5 < 0 但兩向量方向相反、夾角 180°，不是鈍角。故充要條件是 x < 2 且 x ≠ -0.5。

答案　a·b=x−2，|a|=2.236068；鈍角條件 x<2 且 x≠-0.5

採分點　點積 2 分；模 1 分；cosθ 條件 2 分；共線排除 2 分；充要表述 1 分

易錯點　只寫 a·b<0 不排除共線；把 180° 當鈍角

題2

題2　取 x=0.0，求 cosθ 與夾角 θ；驗證該點滿足鈍角條件。

解析

x = 0.0 時 a·b = -2.0，|b| = √(0²+1) = 1.0，cosθ = -2.0/(2.236068×1.0) = -0.894427，θ = arccos(-0.894427) ≈ 153.435°，落在 (90°, 180°) 內，是鈍角。

再驗 x = -0.5：a·b = -2.5，|b| = √(-0.5²+1) = 1.118034，cosθ = -2.5/(2.236068×1.118034) = -1.000000，即 θ = 180°，正是要排除的點。

回代核驗：x=0.0 既滿足 x<2 又滿足 x≠-0.5；cosθ = -0.894427 < 0 且不等於 −1，兩條件同時成立。

答案　x=0.0 時 cosθ=-0.894427、θ≈153.435°；滿足 x<2 且 x≠-0.5

採分點　cosθ 2 分；角度 2 分；排除點復算 2 分；兩條件回代 2 分

易錯點　把 cosθ=−1 也收進鈍角；用 |b|=|x|+1 代替 √(x²+1)

三、規律小結與對照表

小結：鈍角 = a·b<0 且排除反向共線（θ=180°）。本例 x<2 且 x≠-0.5；x=0.0 時 θ≈153.435°。參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能寫出兩向量點積與模
• 知道 a·b<0 只是鈍角必要條件
• 會由共線條件找到要排除的點
• 知道 180° 反向共線不算鈍角
• 能算指定 x 的 cosθ 與角度
• 能回代充要條件兩半