聯招物理·共鳴管端點修正：閉管基頻不是 L=λ/4

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

閉管一端開口、一端封閉，基頻時封閉端是位移波節、開口端是波腹。但波腹並不正好落在管口平面，要往外伸出一小段，經驗修正是約 0.3d（d 為管徑）。所以有效長度是 L + 0.3d，而不是 L。

自編示意：管長 L = 0.200 m，管徑 d = 0.0400 m，測得基頻 f = 400 Hz。器件與讀數均為自編示意，不代表真實測量記錄。

二、逐題精講

題1

題1　求端點修正量、有效長度、波長與聲速。

解析

端點修正 0.3d = 0.3×0.0400 = 0.0120 m；有效長度 L_eff = L + 0.3d = 0.200 + 0.0120 = 0.2120 m。

閉管基頻 L_eff = λ/4，故 λ = 4·L_eff = 4×0.2120 = 0.8480 m。聲速 v = fλ = 400×0.8480 = 339.2 m/s。

回代核驗：λ/4 = 0.2120 m = L_eff；v/f = 0.8480 m = λ，兩式閉合。若把閉管當開管寫 L=λ/2，會得到 λ = 0.400 m，量級直接錯一倍，這是另一類常錯。

答案　修正 0.0120 m；L_eff=0.2120 m；λ=0.8480 m；v=339.2 m/s

採分點　端點修正 2 分；有效長度 1 分；λ 2 分；聲速 2 分；兩式回代 1 分

易錯點　把閉管基頻寫成 L=λ/2；漏掉 0.3d

題2

題2　若忽略端點修正，v 會變成多少？相對正解偏小多少？

解析

忽略修正時 λ′ = 4L = 4×0.200 = 0.8000 m，v′ = fλ′ = 400×0.8000 = 320.0 m/s。

相對正解：v′ 比 v 小 5.700%（分母取正解 339.2）；若按誤值作分母，正解比 v′ 大 6.0%。兩個說法分母不同，交付時須寫明用哪一個，不混著報。

回代核驗：v′/v = 4L/(4(L+0.3d)) = 0.200/0.2120 = 0.943396，與 0.943396 一致；差的來源只有 0.0120 m 的端點修正，L、d、f 全程未動。

答案　忽略修正得 v′=320.0 m/s；比正解小 5.700%（或以誤值為分母則大 6.0%）

採分點　λ′ 與 v′ 2 分；比值 2 分；分母口徑 2 分；回代 1 分；口徑 1 分

易錯點　把兩種百分比口徑混著報；說成 f 測錯了

三、規律小結與對照表

小結：閉管基頻用 L+0.3d=λ/4，波腹在管口外一點。本例 v=339.2 m/s，漏修正得 320.0 m/s 小 5.700%。讀數均為自編示意。

四、自測清單

• 知道閉管基頻是有效長度等於 λ/4
• 知道波腹在管口外需 0.3d 修正
• 會算有效長度與波長
• 能由 v=fλ 求聲速
• 能算忽略修正的結果與相對差
• 能說明兩種百分比分母不同