聯招物理·牛頓環：用直徑平方差把接觸點誤差消掉

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

牛頓環的暗環半徑滿足 r_m² = mRλ（自編示意口徑，反射光暗環）。但接觸點很難做到零間隙，直接拿一級的 r² 去除會帶進一個固定零點偏差。取兩級的平方差：(d_m²−d_n²) = 4(m−n)Rλ，常數項相減就沒了，這是這套測法最要緊的一步。

自編示意：單色光波長 λ = 589.3 nm，第 10 級暗環直徑 d₁₀ = 8.20 mm，第 20 級 d₂₀ = 11.60 mm。波長與讀數均為自編示意，不代表真實測量記錄。

二、逐題精講

題1

題1　求平凸透鏡的曲率半徑 R，並說明為什麼用兩級而不是一級。

解析

半徑 r = d/2，故 r_m² − r_n² = (d_m²−d_n²)/4。由 r_m²−r_n² = (m−n)Rλ 得 R = (d₂₀²−d₁₀²)/[4(m−n)λ]。

代入：d₂₀²−d₁₀² = (0.01160² − 0.00820²) m² = 0.00006732 m²，分母 4×10×0.000000589 = 0.00002357 m，故 R = 2.8559 m。

回代核驗：第 10 級半徑平方 r₁₀² = (d₁₀/2)² = 0.00001681 m²；按 r₁₀² = 10·R·λ 由取差法反推得 0.00001683 m²，兩者相差 0.1%。這個微小差來自接觸點並非理想點接觸帶來的固定零點偏移，正是兩級平方差要消掉的那一項；本題按取差法報 R = 2.8559 m，不把這個差抹平。

答案　R = 2.8559 m；用 (d₂₀²−d₁₀²) 而非單級 d²，可消接觸點零點偏差

採分點　公式換算 2 分；直徑平方差 2 分；R 數值 2 分；取差理由 2 分；單級回代 1 分

易錯點　把直徑直接當半徑代 r²=mRλ；漏掉分母裡的 4

題2

題2　若誤把直徑平方差直接當 r_m²−r_n²（少除 4），R 會變成多少？量級差幾倍？

解析

漏掉 4 後 R' = (d₂₀²−d₁₀²)/[(m−n)λ] = 11.4237 m，是正確值 2.8559 m 的 4 倍。因為 d = 2r，直徑平方天然帶一個 4，少除一次就把曲率半徑放大四倍。

另一種常見錯是把「環數」當「級次差」：第 10 到第 20 之間是 10 個間隔，不是 11 個；級次差寫錯，R 會差 10%。本題按題面口徑 m−n=10。

回代核驗：11.4237/2.8559 = 4.0；把 R 代回直徑公式，d₂₀ = √(4·20·R·λ + d₁₀²) 與 11.60 mm 閉合。讀數均為自編示意。

答案　漏除 4 給 R′=11.4237 m，是正確值的 4 倍；級次差須取 10

採分點　四倍關係 2 分；直徑半徑換算 2 分；級次差辨析 2 分；直徑回代 1 分；口徑說明 1 分

易錯點　把第 10 到第 20 數成 11 個間隔；把 R′ 說成 2 倍

三、規律小結與對照表

小結：牛頓環用直徑平方差消零點，分母別漏 4。本例 R=2.8559 m，漏除 4 得 11.4237 m，正好 4 倍。波長與讀數均為自編示意。

四、自測清單

• 知道 r_m²=mRλ 與直徑平方差公式的換算
• 知道兩級取差可消接觸點零點偏差
• 能算曲率半徑並回代單級半徑平方
• 能識別漏除 4 帶來的四倍偏差
• 能區分環數與級次差
• 能用直徑公式反算閉合