題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
含參單調性的討論順序只有兩步：先把導數寫成能看出參數作用的形式，再按參數把「有沒有臨界點、臨界點在哪」分開。f(x)=x³−3ax+1 的導數是 f′(x)=3x²−3a=3(x²−a)，參數 a 的正負直接決定 x²=a 有沒有實根。
自編示意函數與參數均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 按 a 討論 f(x) 的單調區間。
解析
f′(x) = 3(x²−a)。當 a ≤ 0 時，x²−a > 0 對一切 x 成立（a=0 時除 x=0 外均為正，函數仍在 R 上單調遞增），f 在 R 上遞增，無極值點。
當 a > 0 時，臨界點 x = ±√a。f′>0 在 (−∞,−√a) 與 (√a,+∞)，f′<0 在 (−√a,√a)；故增—減—增三段，x=−√a 取極大、x=√a 取極小。
回代核驗：a=4 時 √a=2，f′(0) = 3(0−4) = −12 < 0，落在減區間；f′(3) = 3(9−4) = 15 > 0，落在增區間，與三段劃分一致。
答案 a≤0 全增；a>0 增(−∞,−√a)、減(−√a,√a)、增(√a,+∞)
採分點 導數形式 1 分；a≤0 討論 2 分；a>0 三段 2 分；a=0 特例 1 分；兩點導數回代 2 分
易錯點 漏掉 a=0 單獨說；把 −√a 當極小點
題2
題2 a=4 時求兩個極值；若要求 f 在 [0,3] 上單調不增，a 至少要多大？
解析
a=4：√a=2，f(−2) = −8 + 24 + 1 = 17.0（極大），f(2) = 8 − 24 + 1 = -15.0（極小），兩極值差 32.0。
要讓 [0,3] 落進減區間 (−√a,√a)，須 3 ≤ √a，即 a ≥ 9。取 a=9 時 √a=3，f′(3) = 3(9−9) = 0.0，端點處導數為 0，[0,3] 上單調不增成立；f(3) = 27 − 81 + 1 = -53.0。
回代核驗：f′(0) = 3(0−9) = -27.0 < 0，區間內部確為減；a=4 時 √a=2 < 3，[0,3] 後半段已經進入增區間，不滿足要求。參數邊界取等號時端點導數為 0，不寫成「嚴格小於」。
答案 a=4 極大 17.0、極小 -15.0；[0,3] 單調不增須 a≥9，此時 f′(3)=0.0
採分點 兩極值各 2 分；區間包含條件 2 分；a≥9 解算 1 分；端點導數與 f(3) 回代 2 分
易錯點 把 3≤√a 寫成 3≤a；把端點導數 0 當成不成立
三、規律小結與對照表
| 參數範圍 | 臨界點 | 單調區間 | 本題驗算 |
|---|---|---|---|
| a≤0 | 無 | R 上遞增 | a=0 時僅一點導數為 0 |
| a>0 | ±√a | 增—減—增 | a=4 給 ±2 |
| a≥9 | ±√a 包住 [0,3] | [0,3] 不增 | f′(3)=0.0 |
| a=4 極值 | −2 / 2 | 17.0 / -15.0 | 差 32.0 |
小結：先把導數寫成 3(x²−a)，再按 a 的正負分兩段。a=4 給極大 17.0、極小 -15.0；[0,3] 不增須 a≥9。參數均為自編示意。
四、自測清單
- 能把導數寫成含參可判號的形式
- 會分 a≤0 與 a>0 兩類討論
- 能寫出三段單調區間
- 能求指定參數下的極值
- 能把區間要求轉成 √a 的不等式
- 能用端點導數與函數值回代
