題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
單擺週期公式 T=2π√(l/g) 裡的 l 是懸點到球心的距離，不是光量擺線的長度。如果每次都只記擺線長 L、漏掉小球半徑 r，真擺長是 L+r，於是 T² = (4π²/g)(L+r) = kL + b，截距 b = k·r 不為零。把這條直線強行拉過原點，斜率就會被截距帶偏。
自編示意：取 L = 0.400、0.600、0.800、1.000 m 四點，小球半徑 r = 0.020 m，取 g = 9.80 m/s²。讀數與器件均為自編示意，不代表真實測量記錄。
二、逐題精講
題1
題1 求理論斜率 k 與截距 b，寫出 L=0.400 m 與 L=1.000 m 兩點的 T²。
解析
理論斜率 k = 4π²/g = 4π²/9.80 = 4.0284 s²/m，截距 b = k·r = 4.0284×0.020 = 0.0806 s²。
兩點：T²(0.400) = k(0.400+0.020) = 1.6919 s²；T²(1.000) = k(1.000+0.020) = 4.1090 s²。
回代核驗：由 1.000 m 點反算 g = 4π²·(1.020)/T² = 9.80 m/s²，與題給 9.80 閉合；ΣL = 2.8 m、ΣL² = 2.16 m²，後面算過原點斜率要用到這兩個量。
答案 k=4.0284 s²/m；b=0.0806 s²；兩點 T² 為 1.6919 與 4.1090 s²
採分點 斜率 2 分；截距來源 2 分；兩點 T² 各 1 分；g 反算回代 2 分；ΣL/ΣL² 口徑 1 分
易錯點 把擺線長當擺長；強行令 b=0
題2
題2 若把四點強行按過原點直線擬合，斜率與算出的 g 會變多少？正確做法是什麼？
解析
過原點擬合的斜率 k′ = Σ(L·T²)/ΣL² = k + b·ΣL/ΣL² = 4.0284 + 0.0806×2.8/2.16 = 4.1329 s²/m，反算 g′ = 4π²/k′ = 9.552 m/s²，比 9.80 偏小 2.5%。
正確做法兩條：一是把擺長直接補成 L+r，再按過原點擬合，斜率仍是 4.0284；二是保留截距，用 T² = kL + b 的斜率 k 求 g，截距 b 正好把漏掉的 r 記下來。兩條路都別把 b 抹掉。
回代核驗：4.1329 − 4.0284 = 0.1044 = 0.0806×2.8/2.16；9.552×1.0259 與 9.80 的比值一致；四點 T² 都滿足 T² = k(L+0.020)，逐點閉合。
答案 過原點給 k′=4.1329、g′=9.552 m/s²（偏小 2.5%）；應補擺長或保留截距
採分點 過原點斜率 2 分；誤算 g 2 分；兩條正確做法 2 分；斜率差回代 2 分；不抹平截距 1 分
易錯點 把截距當隨機誤差刪掉；用擺線長直接算 g
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 理論斜率 k | 4π²/g | 4.0284 | 自編示意 |
| 截距 b | k·r | 0.0806 s² | 漏加半徑 |
| 0.400 m 處 T² | k(L+r) | 1.6919 s² | 閉合 |
| 過原點斜率 k′ | Σ(LT²)/ΣL² | 4.1329 | 被截距帶偏 |
| 誤算 g′ | 4π²/k′ | 9.552 m/s² | 偏小 2.5% |
小結：擺長是懸點到球心，漏加 r 會讓 T²–L 圖多出截距 b=k·r；強行過原點會把 g 算小。本例 k=4.0284、b=0.0806、g′=9.552 m/s²。讀數均為自編示意。
四、自測清單
- 知道擺長須含小球半徑
- 能由 T²=kL+b 求斜率與截距
- 能算兩點 T² 並反算 g
- 能算過原點擬合帶來的斜率偏差
- 知道保留截距或補擺長兩條正解
- 能用逐點閉合與斜率差回代
