題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
等比數列求和公式的分母是 q−1，見到含參或可能取 1 的公比，第一步永遠是分類，不是先代數字。
自編示意：a₁ = 2.00，q = 3.00；數值自擬，不代表真實數列記錄。q⁸ = 6561，供後文回代核對。
二、逐題精講
題1
題1 求 S₄、S₈ 與片段和 a₅+…+a₈，並用第二路公式互驗。
解析
q⁴ = 81，q⁸ = 6561。S₄ = a₁(q⁴−1)/(q−1) = 2.00·(81−1)/2 = 80.0；S₈ = 2.00·(6561−1)/2 = 6560.0。片段和一路 = S₈ − S₄ = 6560.0 − 80.0 = 6480.0。另一路把 a₅ = a₁q⁴ = 2.00·81 = 162.0 當作新首項、仍取 4 項：a₅(q⁴−1)/(q−1) = 162.0·80/2 = 6480.0。兩路相等，說明片段的「起點下標」和「項數」都沒數錯。若兩路不等，優先查項數是否寫成 5。
答案 S₄ = 80.0；S₈ = 6560.0；片段和 = 6480.0（兩路一致）。
採分點 分類意識 1 分、S₄ 1 分、S₈ 1 分、兩路片段和各 1 分、閉合說明 1 分。
易錯點 把 a₅…a₈ 數成 5 項，會多算一項。
題2
題2 若 q = 1.00，其餘不變，S₈ 應是多少？直接套 q−1 公式會得到什麼，為什麼不能那樣寫？
解析
q = 1 時每一項都等於 a₁，S₈ = 8·a₁ = 16.0。若仍套 a₁(q⁸−1)/(q−1)，分子 2.00·(1−1) = 0、分母 1−1 = 0，得到 0/0，是不定式而非 16.0；不能把它「約成 0」或「約成 1」。正確寫法是先分 q=1 與 q≠1 兩檔，q=1 檔單獨用 Sₙ = na₁。這也說明求和公式的適用條件必須寫在答案裡，不能只給一個數值。
答案 S₈ = 16.0；套公式得 0/0，不成立。
採分點 q=1 判定 1 分、Sₙ=na₁ 1 分、0/0 辨析 1 分、適用條件說明 1 分。
易錯點 把 0/0 用計算器「算成 0」是把不定式當定值。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | q=3.00 | q=1.00 |
|---|---|---|---|
| q⁴ | 3⁴ | 81 | 1 |
| S₄ | a₁(q⁴−1)/(q−1) | 80.0 | 8.0 |
| S₈ | a₁(q⁸−1)/(q−1) | 6560.0 | 16.0（改 na₁） |
| a₅…a₈ | S₈−S₄ | 6480.0 | 8.0 |
| 第二路 | a₁q⁴(q⁴−1)/(q−1) | 6480.0 | 不適用 |
小結：含 q−1 的公式先分類；片段和兩路互驗能把「項數」和「起點」兩個錯一起擋住。
四、自測清單
- 能對 q=1 單獨分類
- 能用總和相減求片段和
- 能用新首項公式互驗
- 能識別 0/0 是不定式
- 能寫出公式適用條件
- 能核對項數
