聯招數學·二分法區間套：精度由區間長度管，不由函數值管 - 例題精講

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例題精講 · 第 00700 題 · 每次取中點看符號，誤差上界是半個區間長

以自編示意 f(x)=x³−x−1 在 [1,2] 上為材料，逐次二分回代函數值與區間長度，並求達到 0.01 精度所需的最少迭代次數。

00700題號全 1000 篇 · 第第117輪 / 第117冊輪

方向數學·導數與解三角形六向之一

題型自編仿真題逐題精講 · 采分點拆解

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

二分法的每一步只做兩件事：取中點、看符號。收斂快慢由區間長度決定，函數值離零多近並不直接給出誤差界。

自編示意：f(x) = x³ − x − 1，取區間 [1, 2]，數值為按函數式現算的示意結果。

二、逐題精講

題1

題1　寫出前五次二分的中點函數值，並給出第五次後的區間長度與誤差上界。

解析

f(1) = -1.0000，f(2) = 5.0000，異號，零點存在。中點 1.5：f = 0.8750 > 0，根落 [1, 1.5]。1.25：f = -0.2969 < 0，根落 [1.25, 1.5]。1.375：f = 0.2246 > 0。1.3125：f = -0.0515 < 0。1.34375：f = 0.0826 > 0。五次後區間長度 = 2/2⁵ = 0.0625；若取區間中點作近似根，誤差上界是半區間長 0.03125，而不是 0.0625，也不是某一步的 |f|。

答案　f(1.5)=0.8750，f(1.25)=-0.2969，f(1.375)=0.2246，f(1.3125)=-0.0520，f(1.34375)=0.0830；區間長 0.0625，誤差上界 0.03125。

採分點　異號判定 1 分、五個中點值各 0.5 分、區間長 1 分、誤差上界 1 分、辨析 1 分。

易錯點　把 |f(中點)| 當誤差界：函數值單位是函數值，誤差單位是自變量長度。

題2

題2　要使近似根誤差不超過 0.01，最少需二分多少次？

解析

第 n 次後區間長 = 2/2ⁿ，取區間中點作近似根時誤差上界 = 1/2ⁿ。兩種精度口徑必須分開：若要求「半區間長 ≤ 0.01」，則 1/2ⁿ ≤ 0.01 → 2ⁿ ≥ 100 → n = 7（1/128 = 0.0078125）；若要求「區間長 ≤ 0.01」，則 2/2ⁿ ≤ 0.01 → 2ⁿ ≥ 200 → n = 8（2/256 = 0.0078125），n = 7 時 2/128 = 0.015625 不合格。題面按較嚴的區間長口徑，故取 n = 8。兩個答案都必須寫明口徑，不能只報一個數字。

答案　按區間長口徑 n = 8（區間長 0.0078125）；按半區間長口徑 n = 7。

採分點　不等式 1 分、n=8 1 分、n=7 口徑 1 分、口徑聲明 1 分。

易錯點　不聲明用的是「區間長」還是「半區間長」，7 與 8 會各說各話。