聯招數學·全概率與貝葉斯：先選箱再取球，別把順序倒過來

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩階段試驗最忌把「先選箱」這一步省掉。畫樹：第一層是選箱（各 0.5），第二層才是箱內取球，紅球概率要把兩條枝加起來。

自編示意：甲箱 3 紅 2 白，乙箱 1 紅 4 白，等可能選箱後取 1 球；箱內容與取法均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1　求 P(紅)、P(甲|紅) 與 P(乙|白)。

解析

P(紅) = 0.5·(3/5) + 0.5·(1/5) = 0.3000 + 0.1000 = 0.4000。貝葉斯反推：P(甲|紅) = P(甲且紅)/P(紅) = 0.3000/0.4000 = 0.7500。P(白) = 1 − 0.4000 = 0.6000；P(乙|白) = 0.5·(4/5)/0.6000 = 0.4000/0.6000 = 0.6667。三式分母都是「已看到的結果」總概率，不是某一箱的箱內比例。

答案　P(紅)=0.4000；P(甲|紅)=0.7500；P(乙|白)=0.6667。

採分點　全概率 1 分、P(紅) 1 分、兩個後驗各 1 分、分母口徑 1 分。

易錯點　把 P(甲|紅) 的分母寫成 0.5，會得 0.6000，那其實是甲箱紅球率。

題2

題2　放回後再取一次仍為紅，求 P(甲|兩紅)；並說明把 P(甲|紅) 直接寫成 0.6000 會差多少。

解析

放回時兩次獨立：P(甲且兩紅) = 0.5·(3/5)² = 0.1800，P(兩紅) = 0.5·(9/25) + 0.5·(1/25) = 0.2000，故 P(甲|兩紅) = 0.1800/0.2000 = 0.9000。若把 P(甲|紅) 誤寫成甲箱紅球率 0.6000，相對正確 0.7500 偏小 (0.7500−0.6000)/0.7500 = 20.0%。差別在於前者以「看到紅球」為條件、把兩箱都算進分母，後者只描述甲箱內部，兩者不是同一個量。

答案　P(甲|兩紅)=0.9000；誤寫 0.6000 相對偏小 20.0%。

採分點　兩紅聯合概率 1 分、全概率 1 分、後驗 1 分、偏差 1 分、兩量辨析 1 分。

易錯點　不放回時兩次不獨立，不能照搬 (3/5)²。

三、規律小結與對照表

小結：分母永遠是「已看到的結果」，不是某一箱內部的比例；放回與否決定能不能平方。

四、自測清單

• 能畫兩階段概率樹
• 能用全概率公式求邊緣概率
• 能用貝葉斯公式反推箱別
• 能處理放回抽樣的兩次獨立
• 能辨析條件概率與箱內比例
• 能回代誤寫的相對偏差