題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
複數乘法用三角形式最省事：模相乘、輻角相加。先把兩個複數各自的模和輻角主值算出來，乘積的模與輻角就直接得到，再展開成代數形式核對。
自編示意：z₁ = 1 + √3 i，z₂ = √3 + i。數值為自擬示意，不代表真實測量。
二、逐題精講
題1
題1 求 z₁、z₂ 的模與輻角主值，並求 z₁z₂ 與 z₁/z₂。
解析
|z₁| = √(1+3) = 2.0000，輻角 arctan(√3/1) = 60.0°；|z₂| = √(3+1) = 2.0000，輻角 arctan(1/√3) = 30.0°。乘積模 = 4.0000，輻角 = 90.0°，即 z₁z₂ = 4i；直接展開 (1+√3i)(√3+i) = √3+i+3i+√3i² = 4i，兩路閉合。商 z₁/z₂ 模為 1、輻角 60−30 = 30°，即 cos30°+i sin30°。
答案 |z₁|=|z₂|=2.0000；輻角 60.0° 與 30.0°；z₁z₂ = 4i（輻角 90.0°）；z₁/z₂ 輻角 30°。
採分點 兩模各 1 分、兩輻角各 1 分、乘積模 1 分、乘積輻角 1 分、代數展開互驗 1 分。
易錯點 把 arctan(1/√3) 寫成 60°，會把 z₂ 與 z₁ 的輻角對調。
題2
題2 若把 z₂ 的輻角誤讀成 60°，乘積輻角與實部會變成多少？說明模為什麼不能用作報警量。
解析
誤讀後輻角 = 60+60 = 120.0°，乘積實部 = 4·cos120° = -2.0，而正確實部是 0，差 2.0000。模仍是 2·2 = 4，與角度無關，所以只核對模發現不了抄錯角度。真正能報警的是實部或輻角本身：它們都隨角度和變化。用 de Moivre 反覆乘方時，角度誤差還會被放大 n 倍。
答案 誤讀輻角 120.0°，實部 -2.0；模仍為 4，不能作報警量。
採分點 誤讀輻角 1 分、實部 1 分、實部差 1 分、模不變理由 1 分、乘方放大說明 1 分。
易錯點 看到模一致就判定「兩種讀法等價」，是最常見的漏檢。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 正確（30°） | 誤讀（60°） |
|---|---|---|---|
| |z₁| | √(1²+√3²) | 2.0000 | 2.0000 |
| 輻角和 | 60°+arg z₂ | 90.0° | 120.0° |
| |z₁z₂| | 模相乘 | 4.0000 | 4.0000 |
| 實部 | |z₁z₂|·cos(輻角和) | 0.0000 | -2.0 |
| 報警量 | 隨角度變的是實部 | 實部可用 | 模不可用 |
小結：模相乘、輻角相加；角度抄錯只會改變實部與輻角，模不變，故必須拿實部或輻角回代報警。
四、自測清單
- 能把複數化成三角形式
- 能求輻角主值
- 能用模相乘輻角相加求乘積
- 能用代數展開互驗
- 能識別角度誤讀對實部的影響
- 能說明模不能作報警量
